Tutorato CP1

12 Maggio 2003

1. In un paese r persone hanno votato per il partito A e n-r per il partito B. Per le prossime elezioni si stima che la probabilità che chi ha votato A voti B è p₁ e la probabilità che chi ha votato B voti A è p₂. Calcolare media e varianza dei voti che prenderà il partito A.

2. Calcolare la probabilità esatta che in un lancio di 12 monete il numero di teste sia compreso tra 4 e 7 inclusi e confrontare il risultato con l’ approssimazioni data dal teorema del limite centrale.

3. Un paese ha 3000 abitanti. Un treno passa una volta ogni giorno. Ogni abitante prende il treno 1 volta al mese. Qual è il numero di passeggeri medio giornaliero? (Suggerimento: considerare per ciascun passeggero la variabile casuale che vale 1 se prende il treno e 0 altrimenti). Dare una stima della probabilità che il treno sia sovraffollato se la capienza è C. Quanto deve valere approssimativamemente C affinché il treno non sia sovraffollato nel 90% dei casi?

4. Siano X1, …, Xn variabili casuali indipendenti di cui si conosce soltanto la media m=80 e la varianza σ=36. Sia X la media aritmetica di X1, …, Xn. Usando la disuguaglianza di Chebichev determinare:

a) Due valori a e b tali che P(a<X1<b)≥0.91

b) Per quali valori c vale P(X1>c) ≥0.91

c) Per quali n vale P(79.98<X<80.02) ≥0.91

5. Una moneta viene lanciata finchè non esce testa e viene annotato il numero di lanci N₁. L’ esperimento viene ripetuto k volte, e ciascuna volta si annota il numero di lanci N₂,…,N_k. Stimare la probabilità che la media aritmetica di N₁, …, N_k sia maggiore di 3 e mostrare che tende a 0 per k che tende all’ infinito.

Suggerimenti e soluzioni:

1. Aspettazione = r(1-p₁)+(n-r) p₂; Varianza = r(1-p₁)p₁+(n-r)(1-p₂)p₂

2. Probabilità esatta = 0.7332; Approssimazione mediante teorema del limite centrale = 0.7343

3. La media giornaliera è 100 passeggeri. Una capienza sufficiente che si ottiene con il teorema di Cebichev è C=1000 persone.

4. Lo svolgimento completo si trova in http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_01_02/cp1/TutoratoCP122Aprile2002.pdf

5. Sia M_k la variabile casuale data dalla media aritmetica di N₁, …, N_k , usando la disuguaglianza di Cebichev su tale variabile casuale si ottiene P(|M_k-2|>1)<4/n.