Tutorato CP1

20 Maggio 2003

1. Un’urna contiene N palline di cui una nera e le altre bianche. Si vince se estraendo a caso si pesca la pallina nera. Per valori grandi di N se si gioca per N volte qual è la probabilità di ottenere 0,1 o 2 successi e quale quella di ottenerne almeno 3? Come cambia tale probabilità se si gioca N volte ma le palline sono N/2.

2. Un uomo gioca al lotto due volte a settimana per un anno puntando sempre 1 euro sull’ ambo in una unica ruota. Tenendo presente che un anno ha 52 settimane quanto vale approssimativamente la probabilità di vincere almeno una volta durante un anno? Quale sarà all’ incirca la media del denaro speso sapendo che le vittorie agli ambi vengono premiate con 100 volte la cifra puntata?

3. Quante volte occorre lanciare un dado (approssimativamente) affinché

a)      la probabilità che esca 6 sia maggiore della probabilità che non esca?

b)      la media aritmetica dei risultati sia compresa tra 3.4 e 3.6 con probabilità maggiore di 0.9?

c)      la media sia minore di 3 con probabilità minore di 0.01?

d)      la probabilità che il massimo dei risultati ottenuti sia 6 con probabilità maggiore di 0.99?

e)      la somma delle cifre pari che sono uscite sottratta alla somma delle cifre dispari dia un risultato positivo con probabilità almeno 0.99?

4. Una moneta equa viene tirata 1000 volte. Qual è la probabilità di ottenere un numero di teste compreso tra 490 e 520? Quanto deve valere k affinché la probabilità di ottenere un numero di teste compreso tra 490 e k sia circa 0.8? Quante volte occorre tirare la moneta affinché la probabilità che escano 400 o più teste sia maggiore di 0.6? Se sappiamo che la probabilità di avere meno di 200 teste su 1000 lanci è maggiore di 0.5 quanto deve valere la probabilità di ottenere testa?

5. Una moneta equa viene lanciata finchè non esce per la prima volta la coppia testa-croce (in questo preciso ordine). Calcolare la distribuzione della variabile casuale data dalla lunghezza della sequenza dei lanci.

Suggerimenti e soluzioni:

1. Usare il teorema di Poisson: la probabilità di successo per ogni N è 1/N nel primo caso e 2/N nel secondo, dunque si ha una distribuzione di tipo Poioisson con parametro λ=1 nel primo caso è λ=2 nel secondo.

2. In questo caso si può usare Poisson con λ=pN=104(5/90)(4/89)=0.26.

3. Per i punti (a) e (d) un calcolo diretto fornisce una stima esatta, negli altri casi una stima può essere ottenuta mediante la disuguaglianza di Cebichev, con i seguenti risultati:

a. n≥4

b. n>2920

c. n>2.92·10⁶

d. n>ln(1/100)/ln(5/6)

e. n>14900

4. Uno svolgimento completo e dettagliato si trova in http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_00_01/ps1/tut8.pdf

5. La probabilità che il tempo di attesa sia n è p(n)=(n+1)2⁽ⁿ⁺²⁾, un modo per arrivarci è costruire il diagramma ad albero e contare i rami che portano a sequenze di lanci di tempo n.