Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 2/4/2003

5.1 Sia (ℂ, T_{e}) il piano complesso, e sia S^{1} := {a ∈ ℂ : |a| = 1}.

Si consideri (S^{1} − {1}, T_{e}) come sottospazio topologico di (ℂ, T_{e}). Dimostrare che

(S^{1} − {1}, T_{e}) ≅ ((0, 1), T_{e}),

dove ([0, 1), T_{e}) è l’intervallo (0, 1) di ℝ con la topologia indotta dalla retta euclidea.

5.2 Sia S := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : −1 ≤ x, y < 1}. Trovare tre sottospazi (X_{i}, T_{X_{i}}) di (ℝ^{2}, T_{e}) che contengono S e tali che S in (X_{i}, T_{X_{i}}) sia rispettivamente:

(i) aperto e chiuso;

(ii) chiuso ma non aperto;

(iii) aperto ma non chiuso.

5.3 Sia (S, T_{S}) un sottospazio topologico di (X, T ).

(i) Dare un esempio in cui D è un sottoinsieme denso in (X, T ), con D ∩ S ≠ ∅, e D ∩ S non è denso in (S, T_{S}).

(ii) Verificare che se D è un sottoinsieme denso in (S, T_{S}), D è denso in (\overline{S}, T\overline{S}).

5.4 Siano S_{1}, S_{2} sottoinsiemi degli spazi topologici (X_{1}, T_{1}) e (X_{2}, T_{2}). Dimostrare che nel prodotto topologico (X_{1} × X_{2}, T_{1} × T_{2}) si ha:

(i) \overline{S_{1} × S_{2}} = \overline{S_{1}} × \overline{S_{2}};

(ii) Int(S_{1} × S_{2}) = Int(S_{1})×Int(S_{2});

(ii) Fr(S_{1} × S_{2}) = (Fr(S_{1}) × \overline{S_{2}}) ∪ (\overline{S_{1}}×Fr(S_{2})).

5.5 Sia X un insieme infinito ed Y un insieme avente almeno due elementi. Siano T_{cof_{X}} , T_{cof_{Y}} , T_{cof_{X×Y}} le topologie cofinite su X, Y ed X × Y. Sia inoltre T la topologia prodotto di (X, T_{cof_{X}}) per (Y, T_{cof_{Y}}). Verificare che T_{cof_{X×Y}} ⪇ T in X × Y.