Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 28/5/2003

10.1 Sia (X, T ) uno spazio topologico. Verificare che (X, T ) è connesso se e solo se ogni applicazione

continua da (X, T ) ad uno spazio topologico discreto (Y, P(Y)) é costante. 10.2 Sia X uno spazio topologico compatto e sia Y uno spazio topologico connesso e T 2. Dimostrare

che ogni applicazione continua e aperta

f : X → Y

è necessariamente suriettiva. 10.3 Verificare che gli insiemi GL(n, ℝ) delle matrici di ordine n invertibili e l’insieme O(n, ℝ) delle

matrici ortogonali sono sconnessi in (M(n, ℝ), T_{e}). 10.4 Sia E := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : xy = 0} un sottoinsieme di (ℝ^{2}, T_{e}).

(i) Verificare che E è connesso.

(ii) Verificare che E − {(0, 0)} ha 4 componenti connesse.

(iii) Dimostrare che (E, T_{e}) ≇ (ℝ, T_{e}) (E non è omeomorfo alla retta euclidea). 10.5 Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di (ℝ^{2}, T_{e}) sono sconnessi:

C_{1} := ℝ^{2} − {(x, 0) : x ≠ 0};

C_{2} := ℝ^{2} − {(q, 0) : q ∈ ℚ};
C_{3} := D_{1}(1, 0) ∪ D_{1}(−1, 0);
C_{4} := \overline{C_{3}}.

10.6 Sia (X, T ) uno spazio topologico e sia C un sottoinsieme non vuoto di X.

(i) Verificare che: C aperto, chiuso e connesso ⇒ C è componente connessa di (X, T ). (ii) Determinare un esempio di componente connessa non aperta.

10.7 Sia {C_{t}}_{t∈I} una famiglia di sottoinsiemi connessi per archi di uno spazio topologico (X, T ).

Verificare che se ∩_{t∈I}C_{t} ≠ ∅, allora ∪_{t∈I}C_{t} è connesso per archi. 10.8 Verificare con un esempio che se E è un sottoinsieme connesso per archi di uno spazio

topologico (X, T ), la sua chiusura \overline{E} non è necessariamente connnessa per archi. 10.9 Dimostrare le seguneti affermanzioni:

(i) Ogni spazio topologico banale (X, I_{X}) è connesso per archi. (ii) Ogni sottoinsieme convesso di (ℝ^{n}, T_{e}) è connesso per archi. (iii) Se (X, T ) è connesso per archi e T′ ≤ T , anche (X, T′) è connesso per archi. (iv) Se X ha cardinalitá ≥ 2, (X, P(X)) non è connesso per archi.

10.10 Sai (X, T ) uno spazio topologico.

(i) Verificare che le seguenti condizioni sono equivalenti: (i1) ogni componente connessa per archi è aperta; (i2) ogni punto x ∈ X ha un intorno connesso per archi.

(ii) Dedurre da (i) che (X, T ) è connesso per archi ⟺ (X, T ) è connesso e vale la condizione

(i2). Dimostrare che ℙ^{n}(ℂ) è compatto per ogni n ≥ 1.