Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 28/5/2003

11.1 Sia X uno spazio topologico e sia φ : I → I un’applicazione continua tale che φ(0) = 1, φ(1) = 0. Dimostrare che per ogni arco f : I → X si ha f^{−1} ∼ f ∘ φ (dove f^{−1}(s) := f(1 − s), s ∈ I).

11.2 Sia X uno spazio topologico e siano x_{0}, x_{1} ∈ X e α, β : I → X due archi tali che α(0) = x_{0} = β(0), α(1) = x_{1} = β(1). Dimostrare che se α ∼ β allora π_{α} = π_{β} (dove π_{α} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, x_{1}), definita da: π_{α}([f]) = [α^{−1} ∗ f ∗ α].

11.3 Dimostrare che un sottospazio convesso V di (ℝ^{n}, T_{e}) è semplicemente connesso (connesso per archi ed il gruppo fondamentale è quello banale).

11.4 Un sottoinsieme A di (ℝ^{n}, T_{e}) si dice stellato se esiste un punto a_{0} ∈ A tale che per ogni altro punto a ∈ A il segmento di estremi a, a_{0} è tutto contenuto in A.

(i) Trovare un insieme stellato che non sia convesso.

(ii) Dimostrare che se A è stellato, A è semplicemente connesso.

11.5 Si consideri l’insieme dei numeri complessi ℂ e sia T_{e} la topologia euclidea su ℂ (la topologia indotta dalla norma su ℂ). Si consideri lo spazio topologico prodotto ℂ × ℂ. Si considerino le seguenti due rette in ℂ × ℂ:

r_{1} := {(x, y) ∈ ℂ × ℂ : y = 0}
r_{2} := {(x, y) ∈ ℂ × ℂ : x = 0}.

Sia T := r_{1} ∪ r_{2}.

(i) Determinare π_{1}(T, (0, 0)) (il gruppo fondamentale di T con punto base (0, 0)).

(ii) Determinare π_{1}(T, (1, 0)).

(iii) Lo spazio T è semplicemente connesso?