Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 7/5/2003

7.1 Determinare quali tra i seguenti spazi sono T_{2}:

(ℝ, T_{e}); (ℝ, i_{s}); (ℝ, j_{s}); (ℝ, T_{cof}).

7.2 Siano f, g : (X, T_{X}) → (Y, T_{Y}) due applicazioni continue tra gli stessi spazi topologici.

Sia Δ := {x ∈ X : f(x) = g(x)}. Dimostrare che se (Y, T_{Y}) è uno spazio T_{2} allora Δ è un chiuso in (X, T_{X}).

7.3 Sia S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} l’n-sfera. Determinare una relazione d’equivalenza ρ su S^{n} tale che S^{n}/ρ ≅ ℙ^{n}(ℝ). Ovvero dimostrare che S^{n}/ρ con la topologia quoziente indotta da ρ è omeomorfo allo spazio proiettivo reale ℙ^{n}(ℝ) , dove ℙ^{n}(ℝ) è definito come lo spazio quoziente ℝ^{n+1} − 0/ ∼, dove ∼ è la relazione:

x ∼ y ⇔ ∃λ ∈ ℝ, λ ≠ 0 t. c. y_{i} = λx_{i}, i = 0, ..., n.

Verificare inoltre che lo spazio proiettivo reale di n-dimensionale ℙ^{n}(ℝ) è una varietá topologica ndimensionale, ovvero verificare che lo spazio ℙ^{n}(ℝ):

(i) ha una base numerabile di aperti;

(ii) è uno spazio di Hausdorff (T_{2});

(iii) è localmente omeomorfo allo spazio euclideo ℝ^{n}.

(Sugg. Per dimostrare che ℙ^{n}(ℝ) è T_{2} si utilizzi che S^{n}/ρ ≅ ℙ^{n}(ℝ)).

7.4 Sia (X, T ) uno spazio topologico normale e sia f : (X, T_{X}) → (Y, T_{Y}) un’applicazione continua, chiusa e suriettiva.

(i) Verificare che (Y, T_{Y}) è normale.

(ii) Dedurre da (i) che lo spazio proiettivo reale ℙ^{n}(ℝ) è normale.