GRAFICI DI CURVE DEFINITE IN MODO IMPLICITO

x^2 + y^2 = 1    {Cos[t], Sin[t]}

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

ImplicitPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -0.3, 0.3}]

ImplicitPlot[x^3 + y^2 == 1, {x, -3, 3}]

ImplicitPlot[(x^2 + y^2 + 1)^2 - 4  x^2 - 16 == 
        0, {x, -3, 3}]

ImplicitPlot[(x^2 + y^2 + 3.96)^2 - 15.84  x^2 - 16 == 
        0, {x, -3, 3}]

ImplicitPlot[(x^2 + y^2 + 4)^2 - 16  x^2 - 16 == 
        0, {x, -3, 3}]

CURVATURA DELLE CURVE PIANE

J[{p1_, p2_}] := {-p2, 
        p1}

J[{1, 2}]

kappa2[alpha_][t_] := 
      D[alpha[tt], {tt, 2}] . 
            J[D[alpha[tt], tt]]/(D[alpha[tt], tt] . 
                D[alpha[tt], tt])^(3/2) /.  tt -> t

cerchio[t_] := {r Cos[t],  r Sin[t]}

Assuming[r > 0, Simplify[kappa2[cerchio][t]]]

eight[t_] := {Sin[t], Sin[t] Cos[t]}

Simplify[kappa2[eight][t]]

ParametricPlot[eight[t], {t, 0, 2  Pi}]

Plot[Simplify[kappa2[eight][t]], {t, 0, 2  Pi}]

Cardio[t_] := {2 Cos[t] (1 + Cos[t]), 
        2  Sin[t] (1 + Cos[t])}

Simplify[kappa2[Cardio][t]]

ParametricPlot[Cardio[t], {t, 0, 2  Pi}]

Plot[Simplify[kappa2[Cardio][t]], {t, 0, 8  Pi}]

ESERCIZI :  
      fare la stessa cosa per : 
parabola,  
    ellisse,  cicloide,  lemniscata,  chiocciola

CURVE NELLO SPAZIO

elica[t_] := {  Cos[t],  Sin[t], 
        h t}

ParametricPlot3D[elica[t], {t, 0, 10  Pi}, PlotPoints -> 200, 
      PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}, {0, Pi}}]

helica[t_] := {E^(0.08  t) Cos[t], E^(0.08  t) Sin[t], 
        0.5  t}

ParametricPlot3D[helica[t], {t, 0, 12  Pi}, 
      PlotPoints -> 200]

ESERCIZIO :  
      Disegnare la cubica gobba e la curva di Vitali
PREMIO SPECIALE A CHI FA LA CURVA PIU' BELLA

CURVATURA E TORSIONE DELLE CURVE NELLO SPAZIOù

    
cross e' il prodotto vettoriale in R^3

cross[u_List, v_List] := 
      RotateLeft[u RotateLeft[v] - v RotateLeft[u]] /;  
        Length[u] == Length[v] == 3

RotateLeft[{x, y, z} RotateLeft[{a, b, c}] - {a, b, c} 
          RotateLeft[{x, y, z}]]

kappa[alpha_][t_] :=  
      Simplify[Factor[
                cross[D[alpha[tt], tt], D[alpha[tt], {tt, 2}]] . 
                  cross[D[alpha[tt], tt], D[alpha[tt], {tt, 2}]]]]^(1/2)/
          Simplify[Factor[D[alpha[tt], tt] . D[alpha[tt], tt]]]^{3/2}  /.  
        tt -> t

Assuming[r > 0, Simplify[kappa[elica][t]]]

tau[alpha_][t_] := 
      Simplify[Det[{D[alpha[tt], tt], D[alpha[tt], {tt, 2}], 
                D[alpha[tt], {tt, 3}]}]]/
          Simplify[
            Factor[cross[D[alpha[tt], tt], D[alpha[tt], {tt, 2}]] . 
                cross[D[alpha[tt], tt], D[alpha[tt], {tt, 2}]]]] /.  
        tt -> t

tau[elica][t]

Plot[Simplify[kappa[elica][t]], {h, -20, 20}]

Plot[Simplify[tau[elica][t]], {h, -20, 20}]

ESERCIZIO :  
      Calcolare curvatura e torsione della cubica gobba .  
          Disegnarne anche il grafico . 
 
          Calcolare curvatura e torsione della curva di Vitali .  
          Disegnarne anche il grafico.