Esecitazione FM2-A.A. 2007-2008- 06 /12/06

Formula di D’Alembert, Equazione delle onde

1. (CORDA SEMIINFINITA CON ESTREMO FISSO) Consideriamo:

\{ \begin{matrix}u_{t t} − c^{2}u_{x x} = 0 & x > 0, t > 0 \\ u(x, 0) = g(x), u_{t}(x, 0) = h(x) & x ≥ 0 \\ u(0, t) = 0 & t ≥ 0 \end{matrix}

con g ed h regolari, g(0) = 0. Dopo aver esteso opportunamente i dati iniziali a tutto ℝ, usare la formula di D’Alembert per rappresentare la soluzione come sovrapposizione di onde progressive.

2. Consideriamo:

\{ \begin{matrix}u_{t t} − c^{2}u_{x x} = 0 & 0 < x < L, t > 0 \\ u(x, 0) = g(x), u_{t}(x, 0) = 0 & 0 ≤ x ≤ L \\ u_{x}(0, t) = u_{x}(L, t) = 0 & t ≥ 0 \end{matrix}

con g regolare, g(0) = 0. Definendo opportunamente il dato iniziale g al di fuori dell’intervallo [0, L], utilizzare la formula di D’Alembert per rappesentare la soluzione.

3. Sia dato il problema:

\{ \begin{matrix}u_{t t} − c^{2}u_{x x} = 0 & 0 < x < L, t > 0 \\ u(x, 0) = g(x), u_{t}(x, 0) = h(x) & 0 ≤ x ≤ L \\ u(0, t) = 0, u(L, t) = B. & t ≥ 0 \end{matrix}

(a) Determinare la soluzione stazionaria u_{0} del problema.

(b) Trovare un’espressione formale per la soluzione u.

(c) Verificare che per t → +∞, u non tende a u_{0}. In quali casi la soluzione tende a quella stazionaria?

4. (VIBRAZIONI FORZATE)

Sia dato il problema

\{ \begin{matrix}u_{t t} − u_{x x} = f(x, t) & 0 < x < L, t > 0 \\ u(x, 0) = u_{t}(x, 0) = 0 & 0 ≤ x ≤ L \\ u(0, t) = u(L, t) = 0 & t ≥ 0. \end{matrix}

(a) Utilizzando il metodo di separazione delle variabili scrivere un’espressione formale per la soluzione del problema.

(b) Risolvere il caso f(x, t) = g(t) sin(\frac{π x}{L}).

5. (LAVOR A CASA) Risolvere il problema

\{ \begin{matrix}u_{t t} − c^{2}u_{x x} = f(x, t) & 0 < x < L, t > 0 \\ u(x, 0) = u_{t}(x, 0) = 0 & 0 ≤ x ≤ L \\ u(0, t) = u(L, t) = 0 & t ≥ 0. \end{matrix}

nei casi f(x, t) = e^{−t} sin(\frac{π x}{L}), f(x, t) = xe^{−t}.