Esecitazione FM2-A.A. 2007-2008- 13/12/06

Equazione delle onde, Classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine

1. (CAUCHY-NEUMANN)

Risolvere il seguente problema:

\{ \begin{matrix}u_{t t} − c^{2}u_{x x} = e^{−t} cos (\frac{π x}{L}) & 0 < x < L, t > 0 \\ u(x, 0) = u_{t}(x, 0) = 0 & 0 ≤ x ≤ L \\ u_{x}(0, t) = u_{x}(L, t)0 & t ≥ 0 \end{matrix}

2. Risolvere il seguente problema di Dirichlet non omogeneo:

\{ \begin{matrix}Δu(x, y) = y & in B_{1}(0) \\ u = 1 & su ∂B_{1}(0). \end{matrix}

3. Sia data l’equazione lineare del secondo ordine:

2 u_{x x} + 6 u_{x y} + 4u_{y y} + u_{x} + u_{y} = 0,

classificarla e calcolare le caratteristiche. Ridurre l’equazione in forma canonica e detrminare la soluzione generale.

4. Determinare le caratteristiche dell’equazione:

t^{2} u_{t t} + 2 t u_{t x} + u_{x x} − u_{x} = 0.

Ridurre l’equazione in forma canonica e detrminare la soluzione generale.