Esecitazione FM2 -A.A. 2007-2008- 31-10-2007

Diffusione - Metodo di separazione delle variabili - principio del massimo

1. (PRINCIPIO DEL MASSIMO)

Sia u soluzione del problema

\{ \begin{matrix}u_{t}(x, t) − u_{x x}(x, t) = 0 & 0 < x < 1, t > 0 \\ u(x, 0) = sin π x & 0 ≤ x ≤ 1 \\ u(0, t) = 2 t e^{1−t}, u(1, t) = 1 − cos π t & t > 0. \end{matrix}  (1)

continua nella striscia S = [0, 1] × [0, ∞).

(a) Provare che u é non negativa.

(b) Trovare una limitazione superiore per i valori u(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}) e u(\frac{1}{2}, 3).

2. (COMPORTAMENTO ASINTOTICO)

Sia u soluzione continua nella semistriscia S = [0, 1] × [0, ∞) del problema:

\{ \begin{matrix}u_{t}(x, t) − u_{x x}(x, t) = 0 & 0 < x < 1, t > 0 \\ u(x, 0) = x(1 − x) & 0 ≤ x ≤ 1 \\ u(0, t) = u(1, t) = 0 & t > 0. \end{matrix}  (2)

Dopo aver mostrato che u é non negativa, determinare due numeri positivi α, β in modo che

u(x, t) ≤ w(x, t) ≡ α x(1 − x) e^{−β t}.

Dedurre che u(x, t) → 0 uniformemente in [0, L] per t → +∞.

3. (STATO STAZIONARIO E COMPORTAMENTO ASINTOTICO) Sia assegnato il seguente problema:

\{ \begin{matrix}u_{t}(x, t) − u_{x x}(x, t) = 1 & 0 < x < 1, t > 0 \\ u(x, 0) = 0 & 0 ≤ x ≤ 1 \\ u(0, t) = u(1, t) = 0 & t > 0. \end{matrix}  (3)

(a) Determinare la soluzione stazionaria u^{s} = u^{s}(x) che soddisfa le condizioni al bordo.

(b) Mostrare che u(x, t) ≤ u^{s}(x) per t > 0.

(c) Determinare β > 0 tale che u(x, t) ≥ (1 − e^{−β t})u^{s}(x).

(d) Dedurre che u(x, t) → u^{s}(x) per t → +∞ uniformemente su [0, 1].

(e) Risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili.

4. PROBLEMI IN DIMENSIONE MAGGIORE DI UNO (CAUCHY-DIRICHLET NEL RETTANGOLO)

Utilizzando il metodo di separazione delle varibili si determini la soluzione u = u(x, y, t) del problema:

\{ \begin{matrix}u_{t}(x, y, t) − (u_{x x}(x, y, t) − u_{y y}(x, y, t)) = 0 & 0 < x < a, 0 < y < b t > 0 \\ u(x, y, 0) = g(x) & 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, \\ u(0, y, t) = 0, u(a, y, t) = 0 & 0 < y < b, t > 0 \\ u(x, 0, t) = 0, u(x, b, t) = 0 & 0 < x < a, t > 0. \end{matrix}

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