UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA’ DI SMFN CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

IL METODO DELLE FORME NORMALI CON LA TRASFORMATA DI LIE ED APPLICAZIONE A

POTENZIALI GALATTICI

Sintesi

Relatori Prof. DINO BOCCALETTI Prof. GIUSEPPE PUCACCO

Relatore Interno: Prof. LUIGI CHIERCHIA

Laureanda:

CINZIA BELMONTE Matr. 24499/14

ANNO ACCADEMICO 2002/2003

Introduzione

Si consideri l’hamiltoniana

H(p, q, ϵ) = H_{0}(p,q) + ∑_{k=1}^{∞} ϵ^{k}H_{k}(p,q) ,  (1)

dove (p,q) ∈ ℝ^{2n} sono variabili canoniche coniugate, H_{0}(p,q) è l’hamiltoniana di un sistema integrabile ed ϵ è un piccolo parametro.

Si assume che l’hamiltoniana H sia una funzione analitica, in particolare sia sviluppabile in serie di potenze di ϵ, in un intorno di un punto di equilibrio. La piccolezza del parametro ϵ e l’assunzione implicita che H_{1}, H_{2}, ... siano limitate, comportano che il sistema si presenti come una piccola perturbazione del sistema integrabile.

Allo scopo di indagare la dinamica del sistema canonico di equazioni differenziali descritto da H, si vogliono costruire integrali primi formali intorno al punto di equilibrio. Si fornisce un procedimento costruttivo e consistente per trovare tali integrali formali, in serie di potenze, ignorando in un primo momento le questioni di convergenza. Troncando poi le serie formali si studia la qualità dell’approssimazione.

Si usa il metodo delle forme normali. Il metodo consiste nell’operare una serie di trasformazioni locali di coordinate in modo da semplificare le equazioni che descrivono la dinamica del sistema considerato. In altri termini, il metodo delle forme normali consiste nella ricerca di una trasformazione vicina all’identità che porti l’hamiltoniana in una forma più semplice, ”normale” appunto. Le trasformazioni in questione sono locali giacché sono generate in un intorno di una soluzione nota che è un punto fisso o un’orbita periodica del sistema. Per i sistemi dinamici non lineari le trasformazioni considerate saranno non lineari.

Il metodo delle forme normali è una generalizzazione del metodo Poincaré-Von Zeipel, che nella sua formulazione originaria usa trasformazioni canoniche della forma

q · P + ϵ W (q, P) ,

date attraverso una funzione generatrice definita su un insieme di variabili costituito per metà da variabili originarie e per metà da nuove. Qui si usano le trasformate di Lie.

Si considerano principalmente due tipi di trasformata di Lie: la trasformata di Deprit, applicazione di un flusso hamiltoniano non autonomo, e la trasformata di Dragt-Finn, o dei ”prodotti infiniti”, composizione di successive applicazioni di flussi autonomi. Entrambe le trasformate dipendono da un piccolo parametro e forniscono esplicitamente il cambio di variabili. Entrambe possono essere calcolate con metodi iterativi. Sono discusse le relazioni tra i due tipi di trasformata e sono confrontati gli algoritmi. Il vantaggio di quest’approccio, rispetto alla rappresentazione classica delle trasformazioni canoniche, riguarda specialmente gli algoritmi usati.

Ogni normalizzazione che può essere operata attraverso una trasformazione canonica di tipo classico può anche ottenersi con una trasformazione del tipo di Lie. La trasformata di Lie presenta però alcuni vantaggi. Innanzitutto per ottenere la trasformazione dal generatore si richiede solo l’esecuzione di parentesi di Poisson e non di inversioni. Inoltre la trasformazione inversa può essere ottenuta facilmente, cambiando opportunamente il segno e l’ordine di applicazione degli operatori che danno la trasformata di Lie. Infine la trasformazione delle funzioni è ottenuta facilmente in accordo con i teoremi di commutazione.

Sebbene il metodo di Deprit e il metodo di Dragt-Finn producano la stessa trasformazione, il metodo di Dragt-Finn risulta più efficiente soprattutto a ordini alti.

Nel caso dell’oscillatore si mostra che il sistema normalizzato ammetterà degli invarianti, il cui numero dipende dal numero di relazioni razionali indipendenti che sussistono tra le frequenze e dal numero di gradi di libertà.

Il sistema può essere normalizzato in variabili cartesiane, ma anche in variabili azione-angolo. L’impiego di queste ultime consente di esplicitare informazioni sulle variabili in cui il sistema risulta normalizzato.

Si è costruito un algoritmo per la normalizzazione dell’oscillatore perturbato con la trasformata di Dragt-Finn, e per la costruzione di un’approssimazione locale degli integrali primi formali del moto.

Il procedimento descritto viene applicato al sistema di Hénon-Heiles, che modellizza il moto di una stella in un campo gravitazionale indipendente dal tempo e con un asse di simmetria, e ad un sistema con potenziale quartico, che rappresenta deriva dal modello della parte centrale di una galassia deformata, con frequenze in risonanza 1:1 e 2:1.

Trasformate di Lie

Siano f ed S due funzioni reali analitiche in un dominio limitato Ω nella varietà 2n-dimensionale {(p,q)} = 𝕄^{2n}.

Si dice derivata di Lie della funzione f generata da S la parentesi di Poisson di S e f :

L_{S}f ≡ (S, f) ≡ ∑_{l=1}^{n}(\frac{∂S}{∂q_{l}} \frac{∂f}{∂p_{l}} − \frac{∂S}{∂p_{l}} \frac{∂f}{∂q_{l}}).  (2)

Si definisce serie di Lie associata ad S ( o a L_{S} ) - applicata ad f - la seguente serie formale

e^{ϵL_{S}}f ≡ ∑_{k=0}^{∞} \frac{ϵ^{k}}{k!}L_{S}^{k}f .  (3)

Sia S = S(ζ; ϵ), ζ = (p,q). Si consideri la trasformazione

z = T (ϵ)ζ .  (4)

dove T (ϵ) è l’operatore di Deprit generato da S(ζ; ϵ) e risulta caratterizzato da

\frac{dT (ϵ)}{dϵ} = T (ϵ) L_{S(ζ;ϵ)} .  (5)

Per tale trasformazione, introdotta da A.Deprit nel 1969, vale il teorema di commutazione: sia F (ζ) una funzione analitica, allora

T (ϵ) F (ζ) = F (T (ϵ) ζ) = F (z) .  (6)

Conseguentemente la trasformazione è canonica.

Ogni trasformazione canonica vicina all’identità può essere espressa tramite la trasformata di Deprit.

Sia ora

S(ζ; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{ϵ^{n}}{n!}S_{n+1}(ζ) ,  (7)

(8)

Se si scrive la trasformazione T (ϵ) in serie di potenze

T (ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{ϵ^{n}}{n!}T_{n} ,  (9)

sostituendo nella (5) ed eguagliando i termini dello stesso ordine in ϵ si ha:

\begin{matrix}T_{0} = I , \\ T_{n} = ∑_{m=1}^{n} ( \begin{matrix}n − 1 \\ m − 1 \end{matrix} ) T_{n−p}L_{m}, \end{matrix}  (10)

dove L_{i} = L_{S_{i}}. Per la trasformazione inversa si ottiene

T (ϵ)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{ϵ^{n}}{n!}T_{n}^{−1}  (11)

con

\begin{matrix}T_{0}^{−1} = I , \\ T_{n}^{−1} = −∑_{m=1}^{n} ( \begin{matrix}n − 1 \\ m − 1 \end{matrix} ) L_{m}T_{n−m}^{−1} . \end{matrix}  (12)

Si definisca la trasformazione

z_{i}(ϵ) = M_{g} ζ_{i},  (13)

con

M_{g} ≡ e^{−ϵL_{g_{1}}}e^{−ϵ^{2}L_{g_{2}}} ⋯ e^{−ϵ^{n}L_{gn}} ⋯  (14)

dove le funzioni g_{i} non dipendono dal ”tempo” ϵ. Tale trasformazione è detta trasformata dei prodotti infiniti, e fu introdotta da A.Dragt e J.M.Finn qualche tempo dopo la trasformata di Deprit. Tale trasformazione è canonica.Ogni trasformazione canonica vicina all’identità può essere rappresentata da un prodotto infinito (13). Vale ancora il teorema di commutazione.

Sviluppando formalmente M_{g} in serie di potenze di ϵ

M_{g} = ∑_{n=1}^{∞} ϵ^{n}M_{n} ,  (15)

si ha

\begin{matrix}M_{0} = I , \\ M_{n} = ∑_{m_{1}+2m_{2}+···nm_{n}=n}(−1)^{m_{1}+m_{2}+···m_{n}} \frac{L_{g_{1}}^{m_{1}}L_{g_{2}}^{m_{2}} ⋯ L_{g_{n}}^{m_{n}}}{m_{1}!m_{2}! ⋯ m_{n}!} . \end{matrix}  (16)

Analogamente per l’operatore inverso M_{g}^{−1},scritto in serie di potenze di ϵ

M_{g}^{−1} = ∑_{n=1}^{∞} ϵ^{n}M_{n}^{−1} ,  (17)

si ha

\begin{matrix}M_{0}^{−1} = I , \\ M_{n}^{−1} = ∑_{m_{1}+2m_{2}+···nm_{n}=n} \frac{L_{g_{n}}^{m_{n}} ⋯ L_{g_{2}}^{m_{2}}L_{g_{1}}^{m_{1}}}{m_{1}!m_{2}! ⋯ m_{n}!} . \end{matrix}  (18)

Normalizzazione

Si consideri un sistema autonomo con n gradi di libertà vicino a un punto di equilibrio. Con una trasformazione linere il punto di equilibrio può essere portato nell’origine dello spazio delle fasi {(p,q)}.

L’hamiltoniana del sistema sia dunque

H(p, q, ϵ) = H_{0}(p,q) + ∑_{k=1}^{∞} ϵ^{k}H_{k}(p,q)

dove H_{0} è l’hamiltoniana di un sistema integrabile, ϵ è un piccolo parametro e le H_{k} sono polinomi omogenei nelle q_{i} e nelle p_{i} di grado k + 2. La trasformazione sarà scelta in modo da portare l’hamiltoniana in una forma più semplice; ad esempio formalmente completamente integrabile se la parte imperturbata ha talune caratteristiche. Uno dei risultati della normalizzazione consiste nella la costruzione di integrali primi formali per H.

Il caso in cui l’hamiltoniana dipende dal tempo si tratta allo stesso modo passando allo spazio delle fasi esteso e quindi considerando il tempo t come la (n+1)-esima coordinata.

Si operi una trasformazione canonica vicina all’identità

(p,q) ⟶ (P, Q),

con una delle trasformate di Lie. Sia K(P, Q; ϵ) ∑_{n=0}^{∞} \frac{ϵ^{n}}{n!} K_{n}(P,Q; ϵ) la nuova hamiltoniana. Le equazione per l’hamiltoniana sono della forma

K_{0} = H_{0} ,
L_{H_{0}}S_{n} + K_{n} = R_{n} ,  (19)

dove R_{n} contiene termini noti una volta risolte, fino alla (n-1)-esima, le equazioni precedenti. Il metodo di calcolo del resto R_{n}, dipende dal tipo di trasformata usata.

Si vuole risolvere l’equazione la (19) fino all’ordine n in modo che la nuova hamiltoniana risulti, fino all’rdine n, in forma normale, cioè si deve risolvere la (19) con l’ulteriore condizione

(H_{0}, K_{n}) = 0.  (20)

Si possono costruire esempi in cui la (19) e la (20) non siano compatibili;bisognerà quindi rifarsi a un caso in cui (19) e (20) siano sicuramente compatibili. Consideriamo l’operatore lineare L_{H_{0}} e assumiamo che il suo Kernel e il suo Range siano in somma diretta. Se questo accade consideriamo H_{0} come integrale primo per K. In questo caso la (19) e la (20) sono sicuramente compatibili. In tal caso R_{n} può essere decomposto in modo unico in

R_{n} = R_{n}^{(K)} + R_{n}^{(R)}  (21)

con R_{n}^{(K)} ∈ Ker(L_{H_{0}}), R_{n}^{(R)} ∈ Range(L_{H_{0}}), e l’equazione n-esima si risolve prendendo K_{n} = R_{n}^{(K)} e L_{H_{0}}g_{n} = R_{n}^{(R)}.

Si dirà che K è in forma normale fino all’ordine n se K_{0}, K_{1}, …, K_{n} appartengono al Kernel di L_{H_{0}}.

Il metodo di Deprit e di Dragt-Finn producono la stessa forma normale, quando le frequenze sono razionalmente indipendenti, ma il metodo di Dragt-Finn è più efficiente nel calcolo, soprattutto a ordini alti, richiedendo la valutazione di un numero minore di parentesi di Poisson.

Nel caso dell’oscillatore perturbato, il sistema in forma normale ammette n-r integrali primi indipendenti e in involuzione della forma

J(P, Q) = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{n} μ_{l}(P_{l}^{2} + Q_{l}^{2}),  (22)

dove r è il numero di relazioni razionali indipendenti tra le frequenze. Dunque il sistema originario ammette n-r integrali formali del tipo

I_{ν} = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{n} μ_{νl}(p_{l}^{2} + q_{l}^{2}) + · · · .  (23)

Stabilità

Il teorema di Poincaré sancisce la non-esistenza di integrali primi analitici. Lo studio di un sistema hamiltoniano nell’intorno di un punto di equilibrio ellittico può essere tipicamente ridotto allo studio dell’ hamiltoniana

H(p,q, ϵ) = H_{0}(p,q) + ∑_{k=1}^{∞} ϵ^{k}H_{k}(p,q) ,  (24)

dove

H_{0}(p,q) = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{n} ω_{l}(p_{l}^{2} + q_{l}^{2}).

e H_{k} sono polinomi di grado k+2 nelle variabili canoniche (p,q). In tal caso il teorema di Poincaré non è applicabile, cosicché è possibile la costruzione di integrali primi formali. Tuttavia tali integrali risultano tipicamente non convergenti. L’esistenza di integrali primi formali, però, consente di esplorare la stabilità dell’equilibrio.

Siano le frequenze ω_{i} non nulle, e sia l’hamiltoniana analitica in un intorno dell’origine di ℝ^{2n}. Il sistema normalizzato risulta formalmente completamente integrabile se le frequenze sono non risonanti. Il metodo della normalizzazione è inoltre fruttuoso, come si è visto, per lo studio del caso risonante. Ma i risultati ottenuti sono formali, e le serie definite sono generalmente divergenti. Risultati rigorosi che provano l’esistenza di orbite che non lasciano un’intorno dell’origine possono essere ottenuti con teoremi tipici della teoria KAM, che garantiscono la sopravvivenza della maggior parte dei tori invarianti n-dimensionali del sistema imperturbato. Tuttavia tali tori invarianti non riempiono una regione, così non si può escludere la possibilità della così detta diffusione di Arnol’d, eccetto che nel caso bidimensionale. Un approccio alternativo consiste nel cercare risultati che siano validi solo per un intervallo finito di tempo ma che diano una effettiva limitazione alla diffusione di Arnold. Si può mostrare che il sistema ammette un certo numero di integrali approssimati la cui variazione nel tempo è piccola su un intervallo di tempo molto grande. In particolare, per il sistema definito dalla (24) gli integrali approssimati sono quelli costruiti sopra, troncati ad un ordine opportuno.

Il problema inverso

Data un’ hamiltoniana in serie di potenze

H(p, q; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}H_{n}(p,q) ,  (25)

dove H_{0} è l’hamiltoniana di un sistema integrabile, il problema ordinario della normalizzazione consiste nel portare H nella forma normale

K(P, Q; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}K_{n}(P, Q)  (26)

che soddisfi

H(p(P, Q; ϵ), q(P, Q; ϵ); ϵ) = K(P, Q; ϵ)  (27)

e

(H_{0}, K_{n}) = 0 n = 0, 1, ...  (28)

con una trasformazione canonica (p,q) ⟶ (P, Q), vicina all’identità, i cui generatori appartengano al range di L_{H_{0}}.

La trasformazione canonica può essere rappresentata equivalentemente in modo classico o con una trasformata di Lie, del tipo di Depritla o di Dragt-Finn.

Il problema inverso consiste nell’individuare, per una forma normale in serie di potenze

K(P, Q; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}K_{n}(P, Q),

tutte le hamiltoniane in serie di potenze

H̄(p̄, q̄; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}H̄_{n}(p̄, q̄)

che soddisfino

K(P(p̄, q̄; ϵ), Q(p̄, q̄; ϵ); ϵ) = H̄(p̄, q̄; ϵ),  (29)

dove la trasformazione (P, Q) ⟶ (p̄, q̄) è una trasformazione canonica i cui generatori appartengono al range di L_{H_{0}}.

Su famiglia di hamiltoniane possono essere imposte condizioni opportune che consentono di individuare sistemi integrabili.

Il sistema di Hénon-Heiles

Si consideri il sistema definito dall’hamiltoniana

H(p, q; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}H_{n}(p,q)  (30)

con

H_{0}(p,q) = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{2}(p_{l}^{2} + q_{l}^{2}) ,  (31)

H_{1}(p,q) = q_{1}^{2}q_{2} + μq_{2}^{3} ,  (32)
H_{n}(p,q) = 0 n ≥ 2,  (33)

dove ϵ marca i termini di ordine 3, e sarà posto uguale a 1. Tale sistema è detto sistema di Hénon-Heiles a un parametro. Si vuole trovare il secondo integrale primo (formale) del sistema con il procedimento descritto. Se si pone μ = \frac{1}{3} si ottiene un sistema integrabile. Ponendo invece μ = −\frac{1}{3} si ha il sistema (non integrabile) di Hénon-Heiles, per il quale la forma normale e l’invariante approssimato sono stati calcolati fino al sesto ordine.

Usando l’integrale dell’energia

H(p,q) = E ,

si ricavi p_{1} in funzione di q_{1},q_{2} e p_{2}. La condizione che p_{1}^{2} sia non negativo, per un certo valore di E, definisce un volume limitato

U(q_{1}, q_{2}) + \frac{1}{2}p_{2}^{2} ≤ E ,  (34)

dove U(q_{1}, q_{2}) = \frac{1}{2}(q_{1}^{2} + q_{2}^{2}) + q_{1}q_{2}^{2} − \frac{1}{3}q_{2}^{3} rappresenta il potenziale di Hénon-Heiles. Se il secondo integrale non esiste ogni singola traiettoria popola il volume in modo random, mentre l’esistenza del secondo integrale costringe la traiettoria a vivere su una superficie bidimensionale. Si consideri l’area, definita dall’intersezione del piano q_{1} = 0 con il volume (41),

U(0, q_{2}) + \frac{1}{2}p_{2}^{2} ≤ E .  (35)

La mappa di Poincaré, ottenuta con le successive intersezioni di una data traiettoria con il piano q_{1} = 0, in generale definirà una sequenza infinita di punti sul piano q_{2}p_{2}. Se tali punti non vivono su una curva, allora il secondo integrale in involuzione non esiste; altrimenti, se i punti vivono su una curva, il secondo integrale esiste. I risultati numerici indicano che l’esistenza del secondo integrale dipende fortemente dal valore E della costante dell’energia, oltre che dalle condizioni iniziali. Per 0 ≤ E ≤ \frac{1}{6}, la (41) definisce un volume limitato. Per 0 ≤ E ≤ 0.12 ogni traiettoria ottenuta numericamente dalla mappa di Poincaré vive su una curva. La totalità delle traiettorie formano una famiglia a un parametro che sembra riempire tutta l’area definita dalla (42). Quando il valore di E supera 0.12, si ottiene ancora un insieme di curve chiuse, ma queste non riempiono l’intera area. Si osserva infatti una rapida riduzione dell’area riempita da traiettorie che vivono su una curva. Il resto dell’area è coperto in modo random da ogni singola traiettoria che parte in quest’area. Quando E = \frac{1}{6}, quasi tutta l’area è riempita da ogni singola traiettoria. Questo suggerisce la non esistenza di un integrale in involuzione.

Se si confrontano le curve di livello dell’integrale approssimato con le famiglie corrispondenti ottenute dall’integrazione numerica, si trova un buon accordo. In figura (1) sono rappresentate le curve di livello, sul piano q_{2}p_{2}, dell’invariante troncato al sesto ordine. Per valori dell’energia non maggiori di 0.12 queste curve mostrano in buona approssimazione lo stesso profilo di quelle ottenute con la mappa di Poincaré. L’accordo diminuisce al crescere dell’energia. Gli insiemi di livello dell’invariante approssimato infatti continuano a riempire l’area con curve chiuse, mentre le curve corrispondenti alle traiettorie numeriche si ”rompono”. Comunque, eccetto che nelle zone in cui le traiettorie non vivono su alcuna curva, le curve di livello forniscono una descrizione qualitativa.

Intorno all’isola di sinistra, nella mappa numerica compaiono cinque piccole isole che corrispondono a cinque orbite periodiche stabili. Con l’invariante approssimato, anche ad ordini maggiori del sesto, tali isolette non sono visibili. Per i dettagli fini bisognerebbe infatti fare uno sviluppo attorno ad ognuno dei punti di equilibrio che corrispondono a queste piccole isole.

Figura 1: curve di livello dell’invariante approssimato al sesto ordine.E = \frac{1}{12}, ϵ = 1.

Figura 2: Mappa di Poincaré. E = \frac{1}{12}, ϵ = 1.

Figura 3: Mappa di Poincaré. E = \frac{1}{8}, ϵ = 1.

Figura 4: Mappa di Poincaré. E = \frac{1}{6}, ϵ = 1.

Figura 5: curve di livello dell’invariante approssimato al quarto ordine.E = \frac{1}{12}, ϵ = 1.

Figura 6: curve di livello dell’invariante approssimato al quinto ordine.E = \frac{1}{12}, ϵ = 1.

Potenziale Quartico

Si consideri una hamiltoniana della forma

H(p, q; ϵ) = ∑_{n=0}^{∞} ϵ^{n}H_{n}(p,q)  (36)

con

H_{0}(p,q) = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{2}(p_{l}^{2} + a_{l}q_{l}^{2}) ,  (37)

H_{2}(p,q) = −q_{1}^{2}q_{2}^{2} ,  (38)
H_{n}(p,q) = 0 n ≠ 0, 2.  (39)

Tale hamiltoniana deriva dalla modellizazione della parte centrale di una galassia deformata, la cui distribuzione di massa presenta due assi di simmetria. Se a_{l} = ω_{l}^{2}, si ha l’hamiltoniana di due oscillatori armonici perturbati, dove ϵ^{2}, che rappresenta il parametro dell’accoppiamento, qui è da considerarsi piccolo: ϵ ≪ 1. Con una trasformazione canonica l’hamiltoniana può riscriversi nella forma

H(p, q; ϵ) = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{2} ω_{l}(p_{l}^{2} + q_{l}^{2}) − ϵ\frac{q_{1}^{2}q_{2}^{2}}{ω_{1}ω_{2}}  (40)

Si vuole trovare il secondo integrale del sistema con risonanze ω_{1} = ω_{2} e ω_{1} = 2ω_{2}. Normalizzando fino all’ordine sei si otterrà l’hamiltoniana in forma normale, e invertendo si avrà l’invariante approssimato.

Figura 7: curve di livello dell’invariante approssimato al quarto ordine.ω = (1, 1), E = 0.00765, ϵ = \sqrt{0.1}.

Usando l’integrale dell’energia

H(p,q) = E ,

si ricavi p_{2} in funzione di q_{1},q_{2} e p_{1}. La condizione che p_{2}^{2} sia non negativo, per un certo valore di E, definisce un volume limitato Figura 8: curve di livello dell’invariante approssimato al quarto ordine.ω = (2, 1), E = 0.01, ϵ = \sqrt{0.05}.

U(q_{1}, q_{2}) + \frac{1}{2}ω_{1}p_{1}^{2} ≤ E ,  (41)

dove U(q_{1}, q_{2}) = \frac{1}{2}(ω_{1}q_{1}^{2} + ω_{2}q_{2}^{2}) − \frac{1}{ω_{1}ω_{2}} q_{1}^{2}q_{2}^{2}.

Si consideri l’area, definita dall’intersezione del piano q_{2} = 0 con il volume (41),

U(q_{1}, 0) + \frac{1}{2}ωp_{1}^{2} ≤ E ,  (42)

ovvero, esplicitando,

p_{1}^{2} + q_{1}^{2} ≤ \frac{2E}{ω_{1}}

In figura (7-8) sono riportate le curve di livello dell’invariante approssimato sul piano q_{1}p_{1}, per un valore fissato dell’energia. L’invariante ottenuto analiticamente è in buon accordo con i risultati numerici. I punti fissi della mappa di Poincaré coincidono con i punti di equilibrio del sistema. I punti fissi ellittici corrispondono ai minimi (o massimi) della funzione

I(q_{1}, 0, p_{2} = p_{2}(E, q_{1}, p_{1})),

mentre i punti fissi iperbolici corrispondono ai punti di sella (cfr fig??-??). Per ω_{1} = ω_{2} si trovano cinque punti fissi, di cui tre ellittici e due iperbolici. I punti fissi ellittici sono circondati da isole che corrispondono a curve KAM (intersezione di tori KAM con la superficie q_{2} = 0). I punti fissi iperbolici sono connessi tra loro dalla separatrice. Per ω_{1} = 2ω_{2} si ha un solo punto di equilibrio ellittico circondato da curve KAM.

Figura 9: Mappa di Poincaré.ω = (1, 1),E = 0.00765, ϵ = \sqrt{0.1}E = 0.01, ϵ = \sqrt{0.05}.

Figura 10: Mappa di Poincaré.ω = (2, 1), E = 0.01, ϵ = \sqrt{0.05}.

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