UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N.

Tesi di Laurea in Matematica presentata da

Valeria Cipolla

Dalle opzioni finanziarie alle opzioni reali : valutazione di investimenti in contesti di incertezza e flessibilita

Relatore

Prof. Alessandro Ramponi

Il Candidato Il Relatore

ANNO ACCADEMICO 2003 - 2004 Febbraio 2005

Indice

I

Riassunto

Obiettivo di questo lavoro è stata l’analisi di un particolare approccio di valutazione noto come Real Option Model nel tentativo di confrontarlo con i metodi alternativi attualmente in uso, per rilevarne le principali differenze, e metterne in evidenza sia i vantaggi relativi che i limiti di applicabilità.

Un’opzione finanziaria è un contratto che conferisce all’acquirente il diritto di acquistare (Call) o di vendere (Put) una determinata quantità di un’attività sottostante ad un determinato prezzo, dietro il pagamento di un premio; a seconda che tale facoltà sia esercitabile soltanto ad una data precisa, o in un qualsiasi giorno tra la stipula del contratto e la data di scadenza dello stesso, si parla rispettivamente di opzioni europee o americane. Il sottostante può essere un’azione, un indice, una valuta, un tasso di interesse. Poichè il contratto di opzione è basato sul valore di un’attività sottostante, tale contratto è detto derivato. La natura dell’opzione è quindi quella di poter realizzare una scommessa sul futuro andamento del sottostante (S): per un’opzione europea, se si prevede che il valore dello stesso aumenterà, ci si può aggiudicare la facoltà di acquistare tale sottostante ad un prezzo prefissato K (prezzo strike) alla data della stipula del contratto, t, in modo da guadagnare a scadenza T, nel caso in cui le aspettative venissero confermate, la differenza positiva tra l’aumentato valore del sottostante S(T) ed il prezzo K, predefinito per contratto. L’ipotesi è cioè che il contratto sia stipulato in t, con scadenza in T: se alla scadenza S(T) > K, l’opzione sarà esercitata offrendo un payoff positivo pari a [S(T)−K]; qualora le aspettative non venissero confermate, invece, si rinuncerà semplicemente all’esercizio, e il payoff risulterà nullo, facendo perdere all’acquirente solo il valore del premio, ossia il prezzo dell’opzione, pagato per acquisire la facoltà stessa. Il valore di un’opzione finanziaria è determinato da un numero di variabili riconducibili sia all’attività sottostante che ai mercati finanziari di riferimento^{1}; tra le quali possiamo indicare:

1. Valore corrente dell’attività sottostante: S(t).

2. Volatilità del valore dell’attività sottostante, σ definita in modo che σ\sqrt{Δt} sia la deviazione standard dei tassi di rendimento dell’azione nell’intervallo di tempo,Δt; dunque l’incertezza circa i futuri movimenti del prezzo del titolo.

3. Dividendi pagati da tale sottostante: D.

4. Prezzo d’esercizio o Strike Price: K è il prezzo prefissato a cui verrà effettivamente acquistato o venduto il sottostante qualora si decida di esercitare l’opzione.

5. Time to Maturity o vita a scadenza dell’opzione: (T - t)

6. Tasso di interesse risk-free: r è la variabile riconducibile ai mercati finanziari; viene scelto con riferimento a titoli di durata corrispondente a quella dell’opzione. Esso serve per attualizzare il valore dello Strike Price, che verrà eventualmente pagato o ricevuto al momento dell’esercizio della call o della put rispettivamente.

L’utilizzo delle opzioni finanziarie si è ampiamente diffuso negli ultimi anni, sia per scopi speculativi che per operazioni di copertura, ovvero di gestione dal rischio, anche in virtù della crescente modellistica che ha permesso, dai primi fondamentali lavori di Black-Scholes^{2} e Merton^{3} , di costruire delle tecniche di valutazione del valore dei contratti di opzione.

1Damodaran A.: The promise and Peril of Real Options, Stern School of Business, 1996, pag. 7 ss.; Manuale di valutazione finanziaria, McGraw-Hill, Milano, 1996, pag. 356 ss.; Leslie K.J., Michael M.P., The Real power of Real Options, Anno 2000 N.3.

2Si veda F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81 (1973), pp. 637-659

3Si veda R. C. Merton, Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics

Il grande utilizzo delle opzioni finanziarie ha suggerito l’estensione del concetto di opzione al caso in cui il sottostante non sia un’attività finanziaria, ma un’attività reale. Si parla in questo caso di Opzioni Reali che sono state introdotte principalmente per modellizzare delle opportunitàche esistono all’interno di un’azienda, nuove opportunità di business, espansione all’interno di un settore. Come nelle opzioni finanziarie, anche le opzioni reali hanno un valore per il potenziale flusso di cassa futuro generato da queste opportunità, e come nelle opzioni finanziarie il rischio che il flusso non venga creato esiste, dal momento che queste opportunità potrebbero non essere colte dall’azienda.

La teoria finanziaria delle Opzioni Reali, nata e sviluppatasi fin dai primi anni Ottanta, in seguito al successo del modello di pricing di Black e Scholes, pubblicato nel 1973, seguito da una generalizzazione ad opera di Merton, è stata utilizzata come strumento di valutazione di progetti di investimento e di interi business caratterizzati da elevata complessità ed incertezza, e per i quali i tradizionali strumenti di valutazione statica si dimostrano inadeguati. Essa si è dimostrata particolarmente indicata per la valutazione di imprese operanti in alcuni settori industriali ad alta intensità di ricerca e sviluppo, o a forte prevalenza di investimenti in ambito farmaceutico o cinematografico dove è già stata ampiamente impiegata per sopperire ai limiti individuati nei tradizionali approcci valutativi che con difficoltà riescono a valutare in modo adeguato l’acquisto di un marchio o di nuove tecnologie, la realizzazione di un brevetto, la conclusione di un accordo commerciale. Visto l’ambito in cui si pone la tesi, si èritenuto opportuno illustrare nel primo capitolo le tecniche classiche di valutazione degli investimenti in attività reali (capital budgeting) e alla più generale valutazione aziendale.

Lo scopo è quello di fornire strumenti di valutazione in grado di cogliere e valutare adeguatamente le principali caratteristiche di tali attività. Si è partiti, nel primo paragrafo del capitolo I, presentando il fondamentale principio di valutazione proposto dalla moderna teoria finanziaria basato sulle aspettative dei flussi di cassa e sui tassi aggiustati per il rischio derivanti dai mercati finanziari. Tale principio di valutazione (denominato DCF) ben consolidato per la valutazione delle attività finanziarie, è nella prassi utilizzato anche per dare una valutazione di mercato degli investimenti aziendali e delle imprese.

and Management Science, 4 (1973), pp. 141-183 e On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance, 29 (1974), pp. 449-470

Nel paragrafo 1.4 è stato messo in luce l’insufficienza di tale approccio per la valutazione di titoli derivati (sulle attività finanziarie). Tale insufficienza fornisce motivo per l’introduzione di un approccio alternativo (neutrale al rischio), (paragrafo 1.5). Tale approccio per la valutazione di prodotti finanziari utilizza i medesimi dati ed è basato sulle stesse ipotesi del DCF. La differenza sta nella maniera in cui tali dati e ipotesi sono impiegati. Secondo il metodo DCF, il prezzo di un importo aleatorio è dato dal valore atteso (condizionato all’informazione corrente) scontato ad un tasso di interesse opportunamente aggiustato per il rischio (RADR), pari al tasso privo di rischio aumentato del premio per il rischio, secondo il modello di mercato finanziario che si ritiene più adatto. L’approccio neutrale al rischio, invece, separa l’effetto del differimento dei flussi di cassa attesi (tasso privo di rischio) da quello del rischio (premio per il rischio). Si determina quindi un valore corretto che si ritiene scambiabile con l’importo aleatorio, qualunque sia l’epoca in cui tale importo viene conseguito. Questo valore viene poi scontato in base al tasso privo di rischio. Proprio percè si trasforma l’importo aleatorio nel valore corretto, si parla di valutazione in assenza di rischio o neutrale rispetto al rischio: dato che secondo questo approccio la valutazione coinvolge importi certi, l’atteggiamento verso il rischio degli agenti non ha alcuna influenza e quindi si può pensare che gli agenti siano neutrali verso il rischio e che non richiedano premi per investire nelle attività rischiose. Tale valore corretto di un importo aleatorio può essere calcolato come valore atteso in base ad una distribuzione di probabilità scelta opportunamente e diversa dalla probabilità oggettiva. Questa nuova probabilità esiste in base all’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio nel mercato finanziario. Nel paragrafo 1.6.1 è stato introdotto il principio DCF per la valutazione di attività reali. Successivamente si è presentato l’approccio delle opzioni reali, adatto per la valutazione degli investimenti in condizioni d’incertezza e in presenza di flessibilità (questo argomento verrà approfondito nel secondo capitolo). In base a tale approccio, la flessibilità si esplica come un’opportunità (opzione) da esercitarsi su attività reale. Tale intuizione si rivela importante soprattutto perchè consente l’applicazione dell’approccio neutrale al rischio (introdotto per i titoli derivati finanziari) per la valutazione delle attività reali.

Nel secondo capitolo, sono state presentate le basi teoriche su cui si fondano i più comuni modelli matematici utilizzabili per quantificare le opzioni finanziarie per poter quindi procedere alle costruzioni di modelli più adeguati alla valutazione delle opzioni reali. Il principale modello è il Modello di Black and Scholes : Si assume che il mercato sia costituito da due attività con dinamica del prezzo specificata tramite le seguenti equazioni differenziali, per un investimento certo

dB(t) = rB(t)dt  (1)

e per un investimento rischioso (ad esempio un’azione)

dS(t) = S(t)α(t, S(t))dt + S(t)σ(t, S(t))d̃W (t)  (2)

dove il tasso di interesse a breve r è costante, la variabile σ è la volatilità del prezzo dell’azione, la variabile α è il tasso atteso istantaneo di rendimento del titolo e W̃ è il processo di Wiener.

La prima equazione rappresenta un attività priva di rischio con processo di prezzo B, mentre la seconda rappresenta il processo di prezzo S di un’azione. Si considera un contratto derivato della forma

χ = Φ(S(t))  (3)

dove Φ è detta funzione del contratto, assumendo che questo contratto possa essere negoziato sul mercato e che il processo del prezzo Π(t) = Π(t, Φ) ha la forma

Π(t) = F (t, S(t))  (4)

dove F è una funzione continua e differenziabile. Il principale obiettivo è di caratterizzare F nel mercato [S(t), B(t), Π(t)] per essere libero da possibilità di arbitraggio.

Schematicamente si procede nel seguente modo:

1. Siano α, σ, Φ, F e r variabili esogene;

2. Consideriamo il portafoglio costituito da due attività: un’azione sottostante ed un derivato. Denotando il relativo portafoglio con (u_{s}, u_{π}) otteniamo la seguente dinamica per il valore V del portafoglio (si veda Björk, Lemma 5.4):

dV = V (u_{s}(αdt + σd̃W) + u_{(}π)(α_{(}π)dt + σ_{(}π)d̃W)  (5)

dove abbiamo omesso la dipendenza da t;

3. In assenza di arbitraggio si deve avere (Björk, Proposizione 6.6) che

u_{(}s)α + u_{(}π)α_{(}π) = r  (6)

e per ottenere un portafoglio privo di rischio:

u_{(}s) + u_{(}π) = 1u_{s}σ + u_{(}π)σ_{(}π) = 0  (7)

4. La condizione di assenza d’arbitraggio avrà la forma di PDE in funzione di F

F_{(}t)(t, s)+rsF_{(}s)(t, s)+\frac{1}{2}s^{2}σ^{2}(t, s)F_{(}ss)(t, s)−rF (t, s) = 0F (T, s) = Φ(s)

(8)

5. L’equazione ha un’unica soluzione, che ci da la formula per il prezzo del derivato in assenza d’arbitraggio, che può essere espressa come

F (t, s) = e^{−r(T −t)}E_{(}t, s)^{Q} [Φ(X(T))]  (9)

dove E^{Q} è il valore atteso rispetto alla misura Q, tale misura è detta misura di martingala ^{4}

6. Nel caso in cui si ha una call europea con prezzo strike K e scadenza T è dato dalla formula Π(t) = F (t, S(t)), allora:

F (t, s) = s × N[d_{1}(t, s)] − e^{−r(T −t)}K × N[d_{(}t, s)]  (10)

dove N indica la funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione normale standardizzata, e

d_{1}(t, s) = \frac{1}{σ(T − t)}ln(\frac{s}{K} + (r + \frac{1}{2}σ^{2}(T − t)d_{2}(t, s) = d_{1}(t, s)−σ\sqrt{(T − t)}

(11)

4Siano f e g i prezzi di titoli negoziabili che dipendono da un’unica fonte di incertezza.

Assumiamo che, durante il periodo in esame, i titoli non offrano reddito. Sia θ = f/g La variabile θ rappresenta il prezzo relativo di f rispetto a g. La misura di martingala Q è quella misura di probabilità, caratterizzata da un un particolare prezzo di mercato del rischio, in base alla quale θ è una martingala. Inoltre, dato il prezzo di un certo titolo g, il prezzo di mercato del rischio che rende una martingala è sempre lo stesso, quale sia il titolo con prezzo f.

Tale metodo di pricing delle opzioni è stato in realtà concepito per valutare le opzioni finanziarie, e quindi presenta non poche problematicità se applicato alle opzioni reali. Pur essendo assimilabili, infatti, le due tipologie di opzioni presentano alcune diversità di rilievo: le opzioni finanziarie si basano su contratti, generalmente a orizzonti brevi, e sono vendibili sul mercato, mentre quelle reali possono avere durate lunghe e non hanno un mercato. Inoltre, il modello di Black-Scholes è applicabile solo ad opzioni di tipo europeo. I modelli di valutazione fanno riferimento ai dati storici e danno peso al rischio di volatilità degli underlying values, coerentemente con la logica di breve periodo dei contratti; i sottostanti delle opzioni finanziarie sono però dei titoli o comunque delle attività soggette a valutazioni continue ed ufficiali, mentre nelle opzioni reali gli asset sono attività collegate alla gestione di un business, a cui non sempre è facile associare valori di mercato e le relative misure di volatilità, in quanto possono avere rilevante soggettività; perciò quando le opzioni da valutare sono costruite su asset non negoziabili, bisognerà interpretare con cautela il valore trovato con questi modelli. Rispetto ai problemi di applicabilità dell’equazione di Black e Scholes, Damodaran ha individuato ulteriori cautele da prestare nell’impiego di questa alle Opzioni Reali:

1. Il prezzo dell’attività sottostante, in base al modello di Black e Scholes, si forma seguendo un processo continuo, ma questa ipotesi non sempre è rispettata dalle opzioni reali.

2. La varianza impiegata nel modello si ipotizza nota e immutata durante la vita dell’opzione ma quando il riferimento è ad Opzioni Reali di lunga durata, l’ipotesi sembra poco credibile.

3. L’esercizio delle opzioni finanziarie viene ipotizzato istantaneo: l’esercizio di opzioni reali, invece, può richiedere ad esempio la costruzione di un impianto o la realizzazione di una qualsiasi altra attività che non può avvenire in un istante; la conseguenza è che la vita effettiva di un’opzione reale risulta spesso minore di quella ipotizzata al momento della costruzione del modello.

Un’alternativa interessante al modello di Black e Scholes per quantificare il valore delle opzioni reali, è rappresentata dal modello di Cox, Ross e Rubinstein, che prevede la descrizione dell’andamento del sottostante ad intervalli discreti, e che il prezzo dell’attivit à segua un processo moltiplicativo binomiale su periodi discreti. è quindi un approccio di tipo numerico che permette una maggiore flessibilit à di modellizzazione ma che richiede un maggior sforzo computazionale. Finora si è visto come sia possibile ottenere il valore di un’opzione finanziaria nell’ambito della tecnica di valutazione neutrale al rischio, che permette di derivare la nota formula di Black-Scholes (o alternativamente CRR) e come tale formula possa rivelarsi inadatta per la valutazione di una opzione reale. Occorre dunque descrivere come estendere la tecnica di valutazione neutrale al rischio quando il sottostante non è una attività negoziata e quando ci sono più fattori di aleatorietà delle attività da valutare, situazione alla quale ci si riferisce generalmente come mercato incompleto. Tale tecnica è riassumibile nel seguente modo:

• In un mercato libero da opportunità d’arbitraggio indifferentemente se il mercato è completo o incompleto, esisterà un processo del prezzo di mercato del rischio λ(t), che è uguale per tutte le attività nel mercato. Più precisamente , sia Π(t) il processo del prezzo nel mercato, con P-dinamica

dΠ(t) = Π(t)(_{(}π))(t)dt + Π(t)(σ_{(}π)(t)))d̄W (t)  (12)

allora èverificata ∀t

π(t) − r = σ_{π}(t)λ(t)  (13)

• In un mercato completo il prezzo del derivato sarà univocamente determinato dalla richiesta di assenza di arbitraggio. Nell’utilizzo della Valutazione Neutrale verso il Rischio, il prezzo è unico, perché un mercato completo ha la proprietà che la misura di martingala o equivalentemente il prezzo di mercato del rischio λ, è univocamente determinato dal modello.

• In un mercato incompleto la richiesta di non arbitraggio non è sufficiente a determinare un unico prezzo del derivato. Si hanno varie possibili martingale e vari prezzi di mercato del rischio. Il motivo per il quale ci sono varie possibili martingale significa semplicemente che ci sono differenti insiemi di prezzo per i derivati, compatibili con l’ipotesi di assenza di arbitraggio.

Schematicamente parlando, il prezzo di un derivato è così determinato da 2 fattori principali:

1. Si richiede che il derivato deve essere prezzato in maniera da non introdurre possibilità d’arbitraggio. Questa richiesta è condizionata dal fatto che tutti i derivati devono essere prezzati dalla formula F (t, x) = e^{−r(T −t)}E_{(}t, s)^{Q}[Φ(X(T))], dove la stessa misura di probabilità Q è usata per tutti i derivati; o equivalentemente dalla PDE con condizioni al contorno

F_{t}(t, x)+AF (t, x)−rF (t, x) = 0 (t, x) ∈ (0, T)×RF (T, x) = Φ(x) x ∈ R

(14)

dove

AF (t, x) = μ(t, x) − λ(t, x)σ(t, x)F_{x}(t, x) + \frac{1}{2}σ^{2}(t, x)F_{(}xx)(t, x)

con la stessa λ per tutti i derivati.

2. In un mercato incompleto il prezzo è anche parzialmente determinato, in modo non insignificante, dalle contrattazioni del mercato. L’offerta e la domanda di un derivato specifico è a sua volta determinata dall’avversità al rischio del mercato, così come le considerazioni legate alla liquidità e ad altri fattori.

Tutti questi aspetti entrano nella determinazione di una particolare misura di martingala usata nel mercato. Una volta analizzati alcuni aspetti modellistici sottostanti l’utilizzo ed il prezzaggio delle opzioni è possibile finalmente affrontare il passaggio dalle opzioni finanziarie alle opzioni reali sia nell’ambito del Capital Budgeting che in quello della valutazione del capitale economico di particolari tipologie di aziende che operino in scenari di incertezza. è necessario premettere che, nell’approccio che si è scelto di esaminare e di impiegare per affrontare il business case scelto, non si è impiegato il metodo in modo alternativo rispetto ai metodi di valutazione tradizionali, bensì a complemento di questi, in particolare del Discounted Cash Flow. Si è voluto cioè tentare di interpretare la capacità esplicativa delle Real Option non come un quid in antitesi ai metodi tradizionali, ma piuttosto come uno strumento che comincia ad esprimere tale sua capacità proprio dal momento in cui vengono evidenziati i limiti dei metodi tradizionali.^{5} In particolare, l’approccio che si è analizzato permette di calcolare il valore di un’impresa come un valore base pari all’attualizzazione degli Asset in Place, ossia delle attività materiali ed immateriali esistenti a cui si va a sommare il valore attuale delle opportunità di sviluppo, relativo al valore del portafoglio di Opzioni Reali individuate e misurabili. Sarà quindi^{6} :

Valore dell’impresa = Present Value of Asset in Place + Present Value of Growth Opportunities

5Si è notato tuttavia che alcuni approcci alla Real Option Valuation utilizzano il metodo in forma pura, quantificando cioè il capitale economico con l’esclusivo ricorso alle opzioni reali.

6Perrini F., E-Valuation, Il Sole 24 Ore, Milano, 2000, pag. 233 ss.; Di Mascio A. Delia Russel T., E-Finance, Il Sole 24 Ore Milano, 2000

Valutare un’azienda attraverso questo approccio richiede quindi di misurare due componenti:

• il valore dell’investimento principale, o di base, attraverso il metodo dell’attualizzazione dei flussi di cassa attesi futuri (o attraverso un altro metodo equivalente);

• il valore delle opzioni che l’investimento principale è in grado di generare, e che saranno sfruttabili dal management nel momento in cui matureranno le condizioni necessarie; si tratta quindi di quel valore derivante dalle opzioni strategiche che il management può cogliere, se ne è in grado, nel futuro.

La determinazione del valore delle opzioni possedute da un’impresa e del costo necessario per acquisirle diventa quindi un elemento fondamentale, in quanto consente di evidenziare il premio, ossia il valore aggiunto che esse apportano all’iniziativa e/o alla strategia che le incorpora. Per riuscire a comprendere se e quale sia l’effettiva potenza esplicativa del modello, è sembrato necessario a questo punto un tentativo di applicarlo in un contesto reale. Nel terzo capitolo si è notato che per valutare le attività reali e le opzioni su attività reali, si possono applicare le idee sviluppate nei capitoli precedenti. Il tasso di deriva di ogni variabile è stato aggiustato per tener conto del prezzo di mercato del rischio. Il valore corrente dell’attività è quindi pari al valore attuale dei suoi cash flows attesi, attualizzati in base al tasso privo di rischio. Il principio della valutazione neutrale al rischio offre un approccio interamente coerente con il quale valutare gli investimenti. Consente anche di valutare le opzioni incorporate in molti dei progetti che si incontrano in pratica. Quest’approccio è stato illustrato con due applicazioni: la valutazione di una nuova linea operativa (Amazon.com par. 3) e la valutazione per lo sfruttamento di un pozzo petrolifero (par. 3.2).