UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Sintesi della Tesi di Laurea in Matematica

presentata da Cecilia Ficarra

Decomposizioni di ideali in anelli commutativi

Relatore Prof. S. Gabelli

ANNO ACCADEMICO 2002-2003 LUGLIO 2003

Classificazione AMS: 13A15, 13E05, 13F05 Parole chiave: anelli noetheriani, domini di Prüfer, decomposizione di ideali

Nel 1905, E. Lasker, partendo dal Teorema degli zeri di Hilbert, fu condotto a definire la nozione di ideale primario in un anello di polinomi e a dimostrare che ogni ideale nell’anello ℂ[X_{1}, …, X_{n}] può esprimersi come un’intersezione finita di ideali primari. Questi concetti furono in seguito ripresi ed ampliati da Emmy Noether. Il risultato dei suoi studi fu pubblicato nel 1921 in Idealtheorie in Ringbereichen [14]. In questa pubblicazione, E. Noether introdusse gli anelli nei quali ogni ideale è finitamente generato, cioè gli anelli che soddisfano la condizione della catena ascendente sugli ideali; tali anelli verranno in seguito chiamati anelli noetheriani. E. Noether stabilì che in questi anelli un ideale si può decomporre come intersezione ridotta di un numero finito di ideali in quattro modi distinti: ideali (i) irriducibili, (ii) primari, (iii) non decomponibili relativamente primi, (iv) direttamente non decomponibili. Tra queste decomposizioni, quella che fu maggiormente sviluppata negli studi successivi fu la decomposizione in ideali primari. In un anello noetheriano ogni ideale si può esprimere come un’ intersezione finita di ideali primari, e valgono inoltre alcuni teoremi di unicità per le componenti. Ma anche in altre classi di anelli che non verificano la condizione della catena ascendente sugli ideali può sussistere l’esistenza della decomposizione primaria. Gli anelli in cui questo accade furono chiamati anelli Laskeriani, proprio in onore di E. Lasker. Però tali anelli sono pochi e non hanno proprietà comuni significative. Il fatto che in assenza della noetherianità gli ideali possano raramente essere rappresentati come intersezioni di ideali primari, dipende dal fatto che, in generale, gli ideali irriducibili non sono primari.

Nel 1946 Laszlo Fuchs aggiunse una quinta decomposizione alle quattro già stabilite da E. Noether: quella mediante intersezioni in ideali quasiprimari [5]. Sebbene la nozione di ideale quasi-primario fosse una generalizzazione di quella di ideale primario, la maggior parte dei risultati ottenuti restava valida anche per questa nuova classe di ideali. Successivamente, il confronto delle caratteristiche degli ideali primi associati alle componenti primarie e a quelle quasi-primarie, suggerì a Fuchs che era possibile introdurre, accanto alle altre, una ulteriore decomposizione. I suoi studi lo portarono, quindi, alla pubblicazione, nel 1950, del lavoro On primal ideals [6], nel quale presentò una nuova classe di ideali: gli ideali primali.

Per diversi anni questi studi furono abbandonati; fino a quando, nel 2002, con la pubblicazione Ideal Theory in Prüfer domains, an Unconventional Approach [7], gli autori Laszlo Fuchs e Edward Mosteig arrivarono a dimostrare l’esistenza nei domini di Prüfer a carattere finito di decomposizioni in componenti quasi-primarie e primali; nonchè l’unicità delle componenti stesse, qualora si restringesse lo studio alle intersezioni ridotte.

Il nostro studio ha origine proprio da questa recente pubblicazione. Per poter realizzare un lavoro organico, abbiamo dovuto recuperare i primi articoli di Fuchs (quelli risalenti agli anni quaranta) nei quali egli introduceva appunto le nozioni di ideale quasi-primario e primale, e ne studiava le relative proprietà e il comportamento rispetto alle intersezioni. A questo punto si è reso necessario, tradurre i testi in un linguaggio moderno, aggiornare le definizioni e riscrivere le dimostrazioni utilizzando nozioni e procedimenti più recenti.

Il contenuto della trattazione è così sintetizzato.

Nel primo capitolo richiamiamo le definizioni e le più importanti proprietà degli ideali negli anelli commutativi, soffermandoci principalmente sugli ideali primi, gli ideali massimali e gli ideali primi minimali.

Nel secondo capitolo introduciamo la nozione di ideale primario, quasiprimario e primale, che possiamo così riassumere:

• Un ideale proprio Q di un anello R si dice un ideale primario se presi a, b ∈ R, ab ∈ Q e a ∉ Q ⇒ ∃n ∈ ℕ tale che b^{n} ∈ Q.

• Un ideale proprio Q di un anello R si dice quasi-primario se presi a, b ∈ R con ab ∈ Q e a^{r} ∉ Q, per ogni r ∈ ℕ ⇒ ∃s ∈ ℕ tale che b^{s} ∈ Q.

• Un ideale Q di un anello R si dice un ideale primale se gli elementi che non sono primi con esso, cioè gli elementi r ∈ R tali che Q ⊂ (Q : r)(o, analogamente, tali che (Q : r) = r^{−1}Q ∩ R ≠ Q), formano un ideale.

Partendo da queste definizioni procediamo analizzando parallelamente le loro proprietà, così da rilevare le differenze e le implicazioni che sussistono fra loro. Queste implicazioni sono così schematizzate:

primo ⟹ primario \overrightarrow{⇍=} quasi-primario

Non ci sono implicazioni tra gli ideali primali e gli altri tipi di ideali, possiamo solo avere:

\begin{matrix}& Q ideale quasi-primario e primale \\ & + \\ \sqrt{Q} & primo coincidente con aggiunto di Q \end{matrix} \} ⟹ Q primario

Relativamente alle potenze di un ideale, abbiamo:

potenza di un ideale primo \begin{matrix}≠⇒ \\ ⇍= \end{matrix} primario

potenza di un ideale massimale \overrightarrow{⇍=} primario

potenza di un ideale primo, primario, quasi-primario ⟹

quasi-primario

Relativamente ai radicali:

Q primario \overrightarrow{⇍=} \sqrt{Q} primo

Q quasi-primario ⟺ \sqrt{Q} primo

Ed infine:

Q primale ⟹ aggiunto primo

Nel corso di questo capitolo enunciamo anche un teorema che ben evidenzia la grande forza che ha la classe degli ideali primali rispetto a quella degli ideali primari:

Ogni ideale irriducibile di un anello commutativo R è primale.

L’importanza di questa proprietà risiede proprio nel fatto che essa vale nella più completa generalità, cioè senza fare alcuna ipotesi aggiuntiva su R.

Nel terzo capitolo ricordiamo le definizioni di anello noetheriano, di dominio di valutazione e di dominio di Prüfer e introduciamo le ulteriori proprietà che gli ideali già presentati acquisiscono in queste particolari classi di anelli commutativi. In particolare, per poter definire le proprietà degli ideali primali nei domini di valutazione avremo bisogno di introdurre la definizione di ideale archimedeo: un ideale, cioè, il cui anello degli endomorfismi (I : I) è isomorfo al dominio (e non ad un sovranello proprio). Riportiamo di seguito, per ciascun anello considerato, le proprietà più importanti relative a ciascuna classe di ideali.

Anelli noetheriani:

• Ogni ideale è intersezione finita di ideali irriducibili.

• Ogni ideale irriducibile è primario.

• Un ideale quasi-primario è o una potenza di un ideale primo oppure un ideale intermedio tra due potenze di uno stesso ideale primo.

Domini di valutazione:

• Ogni ideale è quasi-primario.

• Ogni ideale è primale.

• Gli ideali primali di R il cui primo aggiunto è l’ideale massimale di R sono esattamente gli ideali archimedei.

Domini di Prüfer:

• Se Q_{1} e Q_{2} sono due ideali quasi-primari di R con radicali non confrontabili, allora sono comassimali.

• Un ideale è irriducibile se e solo se è primale.

Nel quarto capitolo passiamo ad analizzare le tre decomposizioni di un ideale: primaria, quasi-primaria e primale. Stabiliamo anche sotto quali ipotesi si possano enunciare dei teoremi di unicità per queste tre decomposizioni. Di seguito riportiamo due esempi che illustrano come, in generale, una decomposizione quasi-primaria differisca da una primaria, e come una decomposizione primale sia diversa da una primaria e quasi-primaria.

1) Sia R = K[x, y] l’anello dei polinomi a coefficienti nel campo K nelle indeterminate x, y, e sia inoltre I = (x^{2}y, xy^{2}). Osserviamo innanzitutto che I non è un ideale quasi-primario perchè il suo radicale \sqrt{I} = (xy) non è un ideale primo. I ha come decomposizione primaria:

I = (x) ∩ (y) ∩ (x^{2}, y^{2}),

dove gli ideali (x), (y) sono ideali primi e (x^{2}, y^{2}) è un ideale M-primario avente radicale primo massimale M = (x, y). Dalle seguenti uguaglianze otteniamo due ideali che sono quasi-primari, perchè sono intersezione di ideali quasi-primari aventi radicali primi confrontabili:

(x) ∩ (x^{2}, y^{2}) = (x^{2}, xy^{2})

e

(y) ∩ (x^{2}, y^{2}) = (x^{2}y, y^{2}) .

Allora:

I = (x) ∩ (x^{2}y, y^{2}) = (x^{2}, xy^{2}) ∩ (y) = (x^{2}, xy^{2}) ∩ (x^{2}y, y^{2})

sono tutte decomposizioni quasi-primarie di I.

2) Nell’anello dei polinomi Q = K[x, y, z] a coefficienti nel campo K, l’ideale I = (x^{2}y, xy^{2}z^{2}) ha:

decomposizione primaria:

I = (x) ∩ (y) ∩ (x^{2}, y^{2}) ∩ (x^{2}, z^{2})

con ideali primi associati: (x), (y), (x, y), (x, z); decomposizione quasi-primaria:

I = (x^{2}, xy^{2}z^{2}) ∩ (y)

con radicali primi: (x), (y).

Ed infine decomposizione primale ridotta:

I = (x^{2}y, xy^{2}) ∩ (x^{2}, z^{2})

con primi aggiunti: (x, y), (x, z). È interessante notare che, in tal caso, esiste una decomposizione quasiprimaria ridotta che è allo stesso tempo una decomposizione primale ridotta:

I = (x^{2}, xz^{2}) ∩ (x^{2}y, y^{2})

con radicali (x), (y) e primi aggiunti (x, y) e (x, z).

Arriviamo infine a studiare, nel quinto capitolo, le decomposizioni di ideali nei domini di Prüfer, in particolare, in componenti primali e quasi-primarie. Volendo restringere le nostre considerazioni alle intersezioni finite di ideali, assumiamo che i nostri domini abbiano carattere finito, cioè: che ogni loro elemento non nullo (o, analogamente, ogni ideale non nullo) sia contenuto soltanto in un numero finito di ideali massimali. In tal caso, infatti, è possibile affermare che:

Se R è un dominio a carattere finito, allora ogni ideale I è intersezione finita di ideali della forma I_{(M)}, dove M è un ideale massimale di R.

Avendo posto I_{(M)} = I_{M} ∩ R. Basta allora analizzare le proprietà degli ideali I_{(M)} nei domini di Prüfer.

Riportiamo schematicamente i risultati più importanti del quinto capitolo relativamente alle tre decomposizioni in un dominio di Prüfer.

Decomposizione primaria:

• Ogni ideale non nullo di un dominio di Prüfer R è intersezione di un numero finito di ideale primari se e solo se:

i) R ha carattere finito,e ii) R ha dimensione di Krull uguale a 1.

In questo caso ogni ideale è rappresentabile come prodotto unico di ideali primari.

È evidente, a questo punto, che se il dominio di Prüfer ha dimensione di Krull maggiore di 1 non possiamo dire nulla circa l’esistenza di una decomposizione primaria.

Decomposizione quasi-primaria:

• Sia R un dominio di Prüfer a carattere finito e sia I un ideale non nullo di R. Allora:

(i) I è intersezione finita di ideali quasi-primari con radicali primi non confrontabili.

(ii) Le componenti di tale decomposizione sono univocamente deter-

minate da I. (iii) L’intersezione dei radicali primi delle componenti è esattamente

il radicale \sqrt{I} di I.

• Ogni ideale non nullo I in un dominio di Prüfer a carattere finito è prodotto di un numero finito di ideali quasi-primari a due a due comassimali, univocamente determinati da R.

Di conseguenza mentre in un dominio di Dedekind ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primari (che sono potenze di ideali primi), in un dominio di Prüfer a carattere finito è valido un analogo risultato ma, al posto degli ideali primari dobbiamo collocare quelli quasi-primari.

Decomposizioni primali:

• Per ogni ideale I ≠ 0 di un dominio di Prüfer R, e per ogni ideale M ∈ Max(R) contenente I, l’ideale I_{(M)} è un ideale primale di R con primo aggiunto contenuto in M.

Essendo il reticolo degli ideali di un dominio di Prüfer distributivo, e poichè in un dominio di Prüfer un ideale primale è irriducibile, allora da una qualsiasi decomposizione primale è sempre possibile ottenere una decomposizione primale ridotta. Quindi:

• Ogni ideale I non nullo di un dominio di Prüfer a carattere finito R è rappresentabile come intersezione ridotta

I = I_{(P_{1})} ∩ ⋯ ∩ I_{(P_{k})}

con componenti primali I_{(P_{i})} (i = 1, …, k). E questa rappresentazione è l’unica rappresentazione primale ridotta di I: ed è unica a meno dell’ordine delle componenti.

Giungiamo quindi ad affermare che in un dominio di Prüfer a carattere finito ogni ideale non nullo è intersezione di un numero finito di ideali primali e, restringendosi ulteriormente alle intersezioni ridotte, le componenti sono univocamente determinate. Un risultato simile si ottiene considerando le decomposizioni mediante intersezione, addirittura mediante prodotto, di ideali quasi-primari.

La teoria degli ideali nei domini di Prüfer a carattere finito assomiglia, dunque, molto più da vicino di quanto ci aspettassimo in un primo momento, alla teoria degli ideali nei domini di Dedekind (dove i tre concetti: primario, quasi-primario e primale, coincidono e tutti assumono il significato degli ideali primi). Nei domini di Prüfer solo le decomposizioni inizialmente privilegiate, quelle mediante ideali primari, in generale non esistono, mentre le altre risultano essere anche uniche.

Concludiamo accennando al fatto che in una prossima pubblicazione: Commutative ideal theory without finiteness conditions: primal ideals, gli autori L.Fuchs, W.Heinzer e B.Olberding estendono i risultati qui esposti, arrivando a stabilire l’esistenza di una decomposizione primale ridotta, anche per gli ideali di un anello aritmetico, cioè un anello non integro che risulta essere una generalizzazione di un dominio di Prüfer.

Bibliografia

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