UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N.

Sintesi della Tesi di Laurea in Matematica di

Simona Nasetti

Il Portafoglio Universale: Teoria ed Algoritmi

Relatore

Prof. Alessandro Ramponi

Il Candidato Il Relatore

ANNO ACCADEMICO 2002 - 2003 Febbraio 2004

Classificazione AMS : , Parole Chiave : .

Consideriamo un mercato costituito da m titoli azionari (stocks) caratterizzato dal vettore a componenti positive x = (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{m}) dei prezzi relativi, dove x_{j} rappresenta il rapporto tra il prezzo di chiusura e quello di apertura del j-esimo stock in un dato periodo di tempo. Assumendo che non si possa vendere allo scoperto, un portafoglio titoli in un tale mercato è un qualunque elemento del simplesso m-dimensionale

B = {b ∈ ℝ^{m} : ∑_{j=1}^{m} b_{j} = 1, b_{j} ≥ 0} .

Un generico portafoglio è, dunque, definito dal vettore b = (b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{m}) dove la quantità b_{j} rappresenta la percentuale di capitale investita sul j-esimo stock. Per molti anni si è studiato il problema della gestione del portafoglio considerando sempre una distribuzione di probabilità che governa la successione di prezzi relativi. Data la conoscenza di tale distribuzione, è possibile effettuare decisioni di investimenti e scelte di portafogli che massimizzano il tasso di crescita medio del guadagno. Per ovviare al problema di dover specificare la dinamica dei prezzi di mercato Cover (1991), Cover e Ordentlich (1996) hanno proposto un tipo di strategia di investimento detta ‘universale’: nasce dalla constatazione che un investitore è limitato nella conoscenza della vera distribuzione che regge il mercato. Il principale risultato che ottengono è la costruzione di un algoritmo di investimento che raggiunge, con probabilità 1, il miglior tasso di crescita medio del guadagno senza dover specificare alcuna distribuzione sul vettore prezzi relativi, da una classe di strategia definita di portafoglio costantemente ribilanciato. Assumendo di effettuare transizioni sui titoli ai tempi discreti t = 1, ⋯, N, a partire dal tempo iniziale t = 0 indichiamo con b^{t} il portafoglio adottato nel periodo (t − 1, t). Per tutto il periodo d’investimento i prezzi relativi a disposizione sono x^{(N)} = x^{1}, x^{2}, ⋯, x^{N} per cui la strategia di portafoglio è b^{(N)} = b^{1}, b^{2}, ⋯, b^{N} dove

x^{(N)} = ( \begin{matrix}x_{1}^{1} & x_{1}^{2} & ⋯ & x_{1}^{N} \\ x_{2}^{1} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{2}^{N} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{m}^{1} & x_{m}^{2} & ⋯ & x_{m}^{N} \end{matrix} ) e b^{(N)} = ( \begin{matrix}b_{1}^{1} & b_{1}^{2} & ⋯ & b_{1}^{N} \\ b_{2}^{1} & b_{2}^{2} & ⋯ & b_{2}^{N} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{m}^{1} & b_{m}^{2} & ⋯ & b_{m}^{N} \end{matrix} )

Dal giorno 1 al giorno N il guadagno relativo è dato dalla quantità

S_{N}(b^{(N)}, x^{(N)}) = ∏_{t=1}^{N} b^{t} · x^{t}.

Sia X ∈ ℝ_{+}^{m} la variabile aleatoria che rappresenta i prezzi relativi e sia F la sua distribuzione. Abbiamo allora la seguente

Definizione 0.0.1. Il tasso di crescita esponenziale di un qualsiasi portafoglio b è:

W (b, F) = ∫ log bx dF (x) = 𝔼(log bX).

Consideriamo, ora, una classe ristretta di strategie d’investimento chiamata portafoglio costantemente ribilanciato. Questa strategia usa lo stesso portafoglio b per tutto il periodo di investimento quindi si ha che

b^{t} = b ∀t

e dunque il guadagno S_{N}(b, x^{(N)}) è dato da:

S_{N}(b, x^{(N)}) = S_{N}(b) = ∏_{t=1}^{N} b · x^{t}

Il tasso di crescita medio è la quantità

W_{N}(x^{(N)}, F) = ∫ log bx dF (x).

Possiamo ora definire il miglior portafoglio costantemente ribilanciato, denotato con b^{∗}, quello ottenuto dalla massimizzazione del guadagno relativo S_{N}(b):

b^{∗} = argmax_{b∈B} ∏_{t=1}^{N} b · x^{t}

Il tasso di crescita esponenziale W^{∗}(b, F) è definito come:

W^{∗}(b, F) = max_{b} W (b, F),

dove il massimo è fatto su tutti i possibili portafogli b con b_{j} ≥ 0 e ∑_{j=1}^{m} b_{j} = 1. Sia, inoltre, S_{N}^{∗} = ∏_{t=1}^{N} b^{∗} · x^{t} il guadagno dopo N giorni avendo usato il portafoglio b^{∗}. Il principale obiettivo è dunque quello di trovare una strategia di portafoglio che come il miglior portafoglio costantemente ribilanciato massimizza il guadagno relativo. Si tratta del portafoglio universale studiato da Cover a partire dal 1991. [2]. Diamo innanzi tutto la definizione di universalità:

Definizione 0.0.2. Un portafoglio b è detto universale per B se

lim_{N→∞} sup_{x^{(N)}} \frac{1}{N} log \frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)})}{S_{N}(x^{(N)})} = lim_{N→∞} sup_{x^{(N)}}(W_{N}^{∗}(x^{(N)}) − W_{N}(x^{(N)})) = 0.

Dove S_{N}^{∗} è il guadagno relativo del miglior portafoglio costantemente ribilanciato b^{∗} e S_{N} è il guadagno del portafoglio b.

La strategia del portafoglio universale di Cover è una strategia pesata specificata dalle iterazioni

b̂^{1} = (\frac{1}{m}, \frac{1}{m}, ⋯, \frac{1}{m}),

b̂^{k+1} = \frac{∫_{B} b S_{k}(b) db}{∫_{B} S_{k}(b) db}

dove

S_{k}(b) = ∏_{t=1}^{k} b · x^{t},

B = {b ∈ ℝ^{m} : b_{j} ≥ 0, ∑_{j=1}^{m} b_{j} = 1}

e

x^{1}, ⋯, x^{k} sono i prezzi relativi osservati.

Il guadagno Ŝ_{N} che risulta dal portafoglio universale è :

Ŝ_{N} = ∏_{t=1}^{N} b̂^{t} · x^{k}.

Un primo risultato in [2] mostra esplicitamente che per un periodo di investimento piuttosto lungo il portafoglio universale di Cover approssima il miglior portafoglio costantemente ribilanciato

\frac{1}{N} ln Ŝ_{N} − \frac{1}{N} ln S_{N}^{∗} → 0,

per un’arbitraria successione limitata di stocks x^{1}, x^{2}, ⋯, x^{N}. Più precisamente,

Ŝ_{N} ∼ \sqrt{\frac{2π}{NJ_{N}}} S_{N}^{∗}

dove J_{N} è la matrice di sensitività (m − 1) × (m − 1) ovvero l’indice di curvatura o volatilità. Per m = 2 e sotto certe condizioni sul mercato abbiamo dimostrato il seguente teorema

Teorema 0.0.3. Per ogni x^{1}, x^{2}, ⋯ ∈ ℝ_{+}^{2} e per ogni sottosuccessione di tempi N_{1}, N_{2}, ⋯

\frac{Ŝ_{N}}{S_{N}^{∗}} ∼ \sqrt{\frac{2π}{NJ_{N}}}

sotto la sottosuccessione.

Per m qualsiasi abbiamo enunciato il seguente teorema

Teorema 0.0.4. Supponiamo x^{1}, x^{2}, ⋯ ∈ [a, c]^{m} , 0 < a ≤ c < ∞, e una sottosuccessione di tempi N_{1}, N_{2}, ⋯, W_{N}(b) ↗ W (b) per b ∈ B, J_{N}^{∗} → J^{∗}, b_{N}^{∗} → b_{N}^{∗}, dove W (b) è strettamente concava, la derivata terza di W è limitata su B, e W (b) ha il massimo in b^{∗} nell’interno di B. Allora

\frac{Ŝ_{N}}{S_{N}^{∗}} ∼ (\sqrt{\frac{2π}{N}} )^{m−1} \frac{(m − 1)!}{|J^{∗}|^{1/2}}

nel senso che il rapporto di destra e quello di sinistra convergono a 1 sotto la sottosuccessione.

Facciamo un passo avanti. Nel 1996 Cover e Ordentlich introdussero le side information e il μ-pesato portafoglio universale con side information. Le side information sono le informazioni aggiuntive (ai prezzi stock) che un investitore ha sulle azioni. Il dominio formale del nostro mercato è rappresentato, ora, da una successione di coppie {(x^{t}, y^{t})} dove x^{t} è il vettore stock per il giorno t e y^{t} è il vettore delle side information, al tempo t, che prende il suo valore in un insieme finito Y = {1, 2, ⋯, k}. Il μ-pesato portafoglio universale con side information al tempo t è dato da:

b̂^{t}(y) = \frac{∫_{B} bS^{t−1}(b|y) dμ(b)}{∫_{B} S^{t−1}(b|y) dμ(b)}, t = 1, ⋯, N e y ∈ Y

dove

∫_{B} dμ(b) = 1

e S^{t}(b|y) è il guadagno ottenuto da un portafoglio costantemente ribilanciato con side information ed è dato da

S^{t}(b|y) = ∏ ; \begin{matrix}t = 1, ⋯, N \\ y_{j} = y con j ≤ t \end{matrix} b(y_{j})x^{t}, con S_{0}(b|y) = 1.

Per ogni x^{(N)} e y^{N} il guadagno che risulta da questo investimento é dato da:

Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N}) = ∏_{t=1}^{N} b̂^{t}(y^{t}) · x^{t}.

Oppure, in modo più compatto

Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N}) = ∏_{y=1}^{k} ∫_{B} S_{N}(b|y) dμ(b),

a cui corrisponde il tasso di crescita medio

Ŵ_{N}(x^{(N)}|y^{N}) = \frac{1}{N} log Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N}).

Focalizziamo la nostra attenzione su due scelte di μ: l’uniforme (Dirichlet(1,...,1)) e la Dirichlet(1/2,...,1/2). Quest’ultima distribuzione ha densità, rispetto alla misura di Lebesgue, data da

dμ(b) = \frac{Γ (\frac{m}{2})}{[Γ (\frac{1}{2})]^{m}} ∏_{j=1}^{m} b_{j}^{−(1/2)} db

dove Γ(·) denota la funzione Gamma. Il nostro scopo, ora, quindi, è mostrare che esiste μ per la quale il μ-pesato portafoglio universale con side information b̂(·) è universale nel senso che:

lim_{N→∞} sup_{x^{(N)},y^{N}} \frac{1}{N} log \frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} = 0.

Realizzeremo questo prendendo μ come distribuzione uniforme e Dirichlet(1/2,...,1/2), provando quanto segue:

• per l’uniforme

sup_{x^{(N)},y^{N}} \frac{1}{N} log \frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} = sup_{x^{(N)},y^{N}}(W_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N}) − Ŵ_{N}(x^{(N)}|y^{N}))
≤ \frac{k(m − 1)}{N} log(N + 1);  (1)

• per la Dirichlet(1/2,...,1/2)

sup_{x^{(N)},y^{N}} \frac{1}{N} log \frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} = sup_{x^{(N)},y^{N}}(W_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N}) − Ŵ_{N}(x^{(N)}|y^{N}))
≤ \frac{k(m − 1)}{2N} log(N + 1) + \frac{k}{N} log 2.  (2)

Più precisamente dimostriamo le stime (1) e (2) attraverso i seguenti teoremi

Teorema 0.0.5. Il portafoglio universale con side information pesato con la distribuzione uniforme soddisfa

\frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} ≤ ∏_{r=1}^{k}(N_{r}(y^{N}) + 1)^{(m−1)} ≤ (N + 1)^{k(m−1)}  (3)

per ogni N, x^{(N)} ∈ (ℝ_{+}^{m})^{N}, y^{N} ∈ {1, 2, ⋯, k}^{N}.

Teorema 0.0.6. Il portafoglio universale con side information pesato con la distribuzione di Dirichlet(1/2,...,1/2) soddisfa

\frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} ≤ 2^{k} ∏_{r=1}^{k}(N_{r}(y^{N}) + 1)^{(m−1)/2}
≤ 2^{k}(N + 1)^{k(m−1)/2}  (4)

per ogni N, x^{(N)} ∈ (ℝ_{+}^{m})^{N}, y^{N} ∈ {1, 2, ⋯, k}^{N}.

Questi teoremi implicano immediatamente che

lim_{N→∞} sup_{x^{(N)},y^{N}} \frac{1}{N} log \frac{S_{N}^{∗}(x^{(N)}|y^{N})}{Ŝ_{N}(x^{(N)}|y^{N})} = 0,

e le equazioni (1) e (2) seguono da (3) e (4) facendo il logaritmo e normalizzando a N. Un’altra classe di strategia di portafoglio universale è stata proposta da Singer in [6]. All’inizo del giorno t, l’algoritmo calcola il nuovo vettore portafoglio b^{t+1} come funzione di b^{t} e dei prezzi relativi appena osservati x^{t}. Il nuovo vettore b^{t+1} massimizza (approssimativamente) la seguente funzione:

F̂(b^{t+1}, γ) = η (log(b^{t} · x^{t}) + \frac{x^{t} · (b^{t+1} − b^{t})}{b^{t} · x^{t}})
− d(b^{t+1}, b^{t}) + γ (∑_{j=1}^{m} b_{j}^{t+1} − 1) .

sotto la condizione ∑_{j=1}^{m} b_{j}^{t+1} = 1. Non abbiamo a disposizione risultati che dimostrino che EG(η) sia un portafoglio universale. Sia, allora,

x̂^{t} = (1 − α/m)x^{t} + (α/m)1

dove 1 è il vettore le cui componenti sono uguali a 1. Sostituiamo ora x^{t} con x̂^{t}:

b_{j}^{t+1} = \frac{b_{j}^{t} exp(ηx̂_{j}^{t}/b^{t} · x̂^{t})}{∑_{j=1}^{m} b_{j}^{t} exp(ηx̂_{j}^{t}/b^{t} · x̂^{t})}.

Infine il portafoglio che consideriamo è:

b̂^{t} = (1 − α)b^{t} + (α/m)1.

Questo portafoglio che abbiamo chiamato ÊG(α, η) risulta universale. Si dimostra, infatti, il seguente

Corollario 0.0.7. ÊG(α, η) è un portafoglio universale.

Per poter valutare il comportamento delle strategie di portafoglio universale abbiamo implementato i corrispondenti algoritmi nel caso di un portafoglio con due soli stocks. I prezzi relativi dei due titoli sono stati simulati utilizzando il modello di Black-Scholes, opportunamente discretizzato. In questo modo, infatti, è possibile determinare analiticamente il portafoglio ottimale b^{∗} che massimizza il tasso esponenziale. Sia μ ∈ ℝ^{m} il parametro costante di drift, Σ ∈ ℝ^{m×m} la matrice simmetrica di diffusione. Il modello di Black-Scholes assume che l’evoluzione dei prezzi degli assets sia descritta dalla seguente equazione differenziale stocastica:

(diag(S_{t}))^{−1}dS_{t} = μdt + ΣdW_{t},

dove W_{t} è un moto Browniano standard m-dimensionale. Sotto queste ipotesi il processo valore di un portafoglio costante è

dV_{t}(b) = V_{t}(b) · b(μdt + ΣdW_{t}).

Poichè il miglior portafoglio costantemente ribilanciato b^{∗}, nel periodo [0, N], è soluzione del seguente problema

\{ \begin{matrix}argmax𝔼[log V_{n}(b)] \\ b ∈ B \end{matrix}

e poichè l’equazione precedente può essere risolta analiticamente, si ottiene

b^{∗} = argmax_{b∈B}(b′μ − \frac{1}{2}bΣΣ′b)

che può essere facilmente calcolata. Per il portafoglio universale di Cover abbiamo considerato tre differenti algoritmi di implementazione. Il primo algoritmo proposto da Cover e Ordentlich nel 1996 riscrive b̂ al tempo N nel seguente modo ricorsivo

b̂_{N} = \frac{1}{∑_{l=0}^{N−1} Q_{N−1}(l)} [ \begin{matrix}∑_{l=0}^{N−1} \frac{(l + 1 − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(l) \\ ∑_{l=0}^{N−1} \frac{(N − l − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(l) \end{matrix} ] ,

con

Q_{N}(l) = x_{N1} \frac{(l − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(l − 1)
+ x_{N2} \frac{(N − l − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(l)

per 1 ≤ l ≤ N − 1, e con le condizioni limite

Q_{N}(0) = x_{N2} \frac{(N − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(0)

Q_{N}(N) = x_{N1} \frac{(N − \frac{1}{2})}{N}Q_{N−1}(N − 1).

La condizione iniziale è Q_{0}(0) = 1 e inoltre

Ŝ_{N}(x^{(N)}) = ∑_{l=0}^{N} Q_{N}(l).

Anche il secondo algoritmo (Lando 1998) è un algoritmo ricorsivo. Definiamo le quantità x̃_{t1} = x_{t1} − x_{t2}, e

P_{t}^{l} = ∫_{0}^{1} b^{l}S_{i}(b)db

in modo che P_{N}^{0} = Ŝ_{N} e b̂_{N} = \frac{P_{N}^{1}}{P_{N}^{0}} . P_{t}^{l} può essere calcolata ricorsivamente

P_{t}^{l} = ∫_{0}^{1} b^{l}S_{t}(b)db
⋮
= x̃_{t1}P_{t−1}^{l+1} + x_{t2}P_{t−1}^{l}

infine le condizioni iniziali sono

P_{0}^{l} = ∫_{0}^{1} b^{l}S_{0}(b)db
= ∫_{0}^{1} b^{l}db
= \frac{1}{l + 1}.

Poichè la complessità computazionale degli algoritmi esatti è esponenziale nel numero si stocks, come terzo algoritmo Ishijima propone il metodo Monte Carlo per il calcolo del portafoglio universale. Infatti questo può essere riscritto nel seguente modo

b̂_{N} = \frac{∫_{B} bS_{N−1}(b)dμ(b)}{∫_{B} S_{N−1}dμ(b)} = \frac{𝔼_{μ}(bS_{N−1}(b))}{𝔼_{μ}(S_{N−1}(b))},

dove 𝔼_{μ}(·) è l’operatore aspettazione rispetto alla misura μ, è espresso come l’aspettazione di portafogli costanti misurati con la Dirichlet. Sia b^{(k)} (k = 1, ⋯, K) numeri random di portafogli costanti indipendenti estratti dalla distribuzione μ dove K è il numero di campioni. Il portafoglio universale si approssima allora con:

b̂_{j,t}^{(K)} = \frac{\frac{1}{K} ∑_{k=1}^{K} b_{j}^{(k)}S_{t−1}(b^{(k)})}{\frac{1}{K} ∑_{k=1}^{K} S_{t−1}(b^{(k)})} = \frac{∑_{k=1}^{K} b_{j}^{(k)}S_{t−1}(b^{(k)})}{∑_{k=1}^{K} S_{t−1}(b^{(k)})} (j = 1, ⋯, m).

Per la legge dei grandi numeri questa equazione converge al portafoglio universale quando il numero di campioni diventa sufficientemente grande.

Infine, la strategia di portafoglio universale proposta in Hembold e Singer, è implementata dalle seguenti iterazioni:

x̂(t) = (1 − α/m)x(t) + (α/m)1

dove 1 è il vettore di soli 1,

b_{j}^{t+1} = \frac{b_{j}^{t} exp(ηx̂_{j}^{t}/b^{t} · x̂^{t})}{∑_{j=1}^{m} b_{j}^{t} exp(ηx̂_{j}^{t}/b^{t} · x̂^{t})}.

Infine il portafoglio che consideriamo è:

b̂^{t} = (1 − α)b^{t} + (α/m)1.

Bibliografia

[1] Thomas M. Cover. Elements of Information Theory Capitolo 1, capitolo 15.

[2] Thomas M. Cover. Universal Portfolio. Università di Stanford, 1996.

[3] Thomas M. Cover e Erik Ordentlich. Universal Portfolio with Side Information. IEEE Transaction on Information Theory, 1996.

[4] Martin Blaedel, Brian Huge e David Lando. On Long Run Portfolio Optimization Using Universal Portfolios. Università di Copenhagen, 1998.

[5] Hiroshi Ishijima. Numerical Methods for Universal Portfolios. Università di Keio, December 2001.

[6] David P. Helmold, Robert E. Schapire e Yoram Singer, Manfred K. Warmuth. On-line portfolio selection using multiplicative updates Mathematical Finance, Ottobre 1998.

[7] Brunero Liseo. Introduzione alla statistica Bayesiana Capitoli 1-2, capitolo 7.

[8] Adam Kalai e Santosh Vempala Efficent Algorithms for Universal Portfolios Journal of Machine Learning Research 3 (2002).