Singolarità dello schema di Hilbert —sintesi per la commissione—

Candidato Michele Nesci

Relatore Edoardo Sernesi

18 febbraio 2004

Sommario

Lavoriamo con lo schema di Hilbert delle curve di ℙ^{3} di fissato genere e grado. Dopo il capitolo di prerequisiti, diamo il concetto di famiglia, famiglia piatta, famiglia universale; definito lo schema di Hilbert come famiglia universale diamo uno strumento per calcolarne lo spazio tangente e quindi individuarne i punti singolari. Il tutto è finalizzato alla presentazione di due articoli che analizzano altrettanti esempi di curve non singolari cosidette “ostruite”; dal punto di vista dello schema di Hilbert queste sono curve non singolari che però corrispondono a punti singolari di Hilb.

Il primo esempio è di Mumford, pubblicato in [Mum62], ed è il primo esempio trovato di curva di questo tipo; si tratta di una componente connessa non ridotta di Hilb_{14,24} il cui generico punto parametrizza una curva non singolare.

Il secondo esempio è stato pubblicato da Sernesi in [Ser82] ed è invece il caso dell’intersezione di due componenti connesse di Hilb_{18,39}; è il primo esempio trovato di una curva ostruita che si trova in una componente irriducibile ridotta del suo schema di Hilbert.

Sono noti un certo numero di esempi simili; ad oggi non esiste una teoria generale che descriva questo fenomeno ed ogni singolo esempio costituisce un caso a sé.

0 Prerequisiti

Più che una sintesi dei contenuti del capitolo, poco interessante per chi ha già dimestichezza con la materia, espongo qui le idee e i fini che mi hanno guidato nella sua stesura.

Uno dei primi problemi che ho incontrato nello studio della geometria algebrica è stato quello della mancanza di un testo di livello intermedio, che facesse da raccordo tra i testi di base e gli articoli che avevo la necessità di studiare. Ho deciso quindi di posizionare il mio lavoro a questo livello intermedio; il lettore a cui mi rivolgo è uno studente che abbia appena completato un primo corso di teoria degli schemi e che abbia intenzione di applicare quei concetti allo studio, per molti versi più semplice, di ciò che accade nello spazio proiettivo.

Il principale strumento in questo senso è appunto il “capitolo zero” di prerequisiti. Vi ho riportato la maggior parte di quei risultati che mi sono stati necessari per comprendere i testi sui quali ho studiato l’argomento di questa tesi. Quasi tutti gli enunciati sono in una forma molto più debole di quella con cui sono generalmente noti: sono il caso particolare dell’applicazione di teoremi e proposizioni generali della teoria degli schemi allo spazio proiettivo. In questa forma le proposizioni risultano spesso più intuitive, ma sopratutto sono di più immediata applicazione.

In alcuni casi ho deciso di affrontare quasi da zero un argomento; lo scopo è quello di sottolineare quelle (e solo quelle) caratteristiche dello strumento che sarebbero state utili in seguito; mi sono regolato in questo modo per i sistemi lineari e per gli spazi di coomologia, che sono argomenti di certo affrontati in un corso di geometria algebrica, ma che si comportano in modo più semplice e facilmente comprensibile se li si usa all’interno di uno spazio regolare come ℙ^{3}. Non avendo comunque intenzione di scrivere un libro di testo, raramente ho incluso le dimostrazioni di questi fatti, per le quali rimando ad un qualunque testo di base di geometria algebrica.

Vi è poi una serie di “formule utili”; risultati abbastanza particolari, che spesso nei libri si trovano tra gli esercizi, ma che sono comunemente utilizzati e spesso senza essere invocati in modo esplicito. Ho scelto di riportare nel capitolo iniziale almeno quelli cui dovrò fare ricorso.

La lunghezza non trascurabile, in proporzione, di questo capitolo riflette anche la quantità del lavoro propedeutico al vero e proprio studio dell’argomento della tesi.

1 Lo schema di Hilbert di curve proiettive

Lo studio delle famiglie di curve nello spazio, e più in generale delle famiglie di varietà algebriche, è un argomento classico della geometria; questa tesi tratta un fenomeno abbastanza peculiare che riguarda lo schema di Hilbert, lo spazio i cui punti parametrizzano la famiglia universale delle curve proiettive di un fissato genere e grado.

Il concetto moderno di famiglia non prevede un insieme di curve indicizzato da uno o più parametri numerici ma uno schema, detto spazio dei parametri, i cui punti chiusi siano in corrispondenza biunivoca con gli elementi della famiglia intesa in senso classico; Con linguaggio moderno una famiglia è un morfismo di schemi

π : X ⟶ S

dove S è lo spazio dei parametri e gli elementi della famiglia sono le fibre sui punti chiusi di S della π.

Questo concetto di famiglia, tuttavia, è troppo ampio al punto che gli elementi di una stessa famiglia possono non avere assolutamente niente in comune. Per ovviare a questo problema si introduce la nozione di famiglia piatta. In questo caso si può vedere che tutti gli elementi della famiglia hanno lo stesso polinomio di Hilbert e quindi hanno un certo numero di proprietà importanti, come dimensione, genere e grado, in comune.

Lo schema di Hilbert è appunto uno spazio di parametri; più precisamente è lo spazio dei parametri della famiglia piatta universale, quella, cioé, che comprende tutte le curve proiettive di un fissato genere e grado. Ad esempio lo schema di Hilbert delle curve piane di grado due (e quindi genere zero) è lo spazio proiettivo a cinque dimensioni in cui le coordinate omogenee sono i coefficienti di un generico polinomio di secondo grado.

Il fatto che uno spazio dei parametri, e nello specifico uno schema di Hilbert, non sia semplicemente costituito da ennuple di numeri ma sia uno spazio geometrico vero e proprio —ha una struttura di schema proiettivo— gli permette di descrivere meglio la famiglia ma introduce anche una maggiore complessità. Lo schema di Hilbert è proiettivo ed è connesso ma, almeno in generale, le sue proprietà “buone” come schema finiscono qui. Molto spesso lo schema di Hilbert non è irriducibile ma è dato dall’unione di più componenti (comunque un numero finito, essendo proiettivo), a volte alcune di queste non sono ridotte, in generale c’è un gran numero di punti singolari.

Di solito si individuano queste singolarità confrontando in un dato punto la dimensione dello schema di Hilbert e quella del suo spazio tangente. Mentre per trovare la dimensione dello schema di Hilbert occorre lavorare in modo diverso caso per caso, per quanto riguarda il suo spazio tangente abbiamo un risultato abbastanza comodo

Teorema 1.1 Lo spazio tangente allo schema di Hilbert in un suo punto [C] è isomorfo allo spazio delle sezioni globali del fascio normale N_{C/ℙ^{3}}.

La dimostrazione di questo teorema richiede un certo lavoro e si snoda in due passaggi fondamentali

Proposizione 1.2 Sia X uno schema algebrico su 𝕂 e p un suo punto chiuso. Dare un vettore tangente a X in p è come dare un morfismo di schemi su 𝕂

f : Spec 𝕂[ε] ⟶ X

che mandi in p il punto chiuso di Spec 𝕂[ε].

Qui 𝕂[ε] è l’anello cosiddetto dei numeri duali, 𝕂[x]/(x^{2}). Per la proprietà universale dello schema di Hilbert, i morfismi del tipo citato corrispondono alle deformazioni al primo ordine di X; qui si inserisce il secondo fatto e cioé

Teorema 1.3 Se X è un sottoschema chiuso di ℙ^{N}, lo spazio delle deformazioni del primo ordine di X è isomorfo allo spazio delle sezioni globali del fascio normale N_{X}.

Per quanto riguarda la dimensione di Hilb, abbiamo una stima dal basso che si prende a prestito dalla teoria delle ostruzioni:

Teorema 1.4 Se C, un sottoschema chiuso di ℙ^{3} di dimensione 1, è localmente una completa intersezione, in particolare se C è non singolare, allora

dim_{[C]} Hilb ≥ h^{0}(N_{C}) − h^{1}(N_{C})

dove [C] è il punto di Hilb la cui fibra è C.

Dunque se C rientra nelle ipotesi di questo teorema e h^{1}(N_{C}) = 0 il punto [C] è non singolare.

Alcuni calcoli fanno vedere che la quantità h^{0}(N_{C}) − h^{1}(N_{C}), se C è una curva non singolare di grado d, è pari a 4d; dunque questa è la dimensione “standard” dello schema di Hilbert, quella che si ha per curve non singolari tali che h^{1}(N_{C}) = 0.

Riporto qui l’esempio dello schema di Hilbert delle curve di ℙ^{3} di grado 9 e genere 10, che si trova nella sezione 1.5.3 della tesi.

Esempio 1.5 Le curve non singolari di ℙ^{3} di genere 10 e grado 9 si dividono in due famiglie, ciascuna delle quali corrisponde a una componente connessa di Hilb_{9,10}; esse sono:

1. curve di tipo (3, 6) su una superficie quadrica non singolare

2. curve intersezione completa di due superfici cubiche non singolari.

si osserva che per una curva C della prima famiglia si ha che

h^{0}(O_{C}(2)) = 9 h^{0}(I_{C}(2)) = 1

mentre per una curva γ della seconda famiglia questi indici sono

h^{0}(O_{γ}(2)) = 10 h^{0}(I_{γ}(2)) = 0.

Da questo discende che nessuna di queste due famiglie di curve è un caso limite dell’altra. Infatti per il teorema di semicontinuità superiore la dimensione dei gruppi di coomologia in casi limiti di una famiglia irriducibile può solo salire mentre qui abbiamo che h^{0}(I_{C}(2)) > h^{0}(I_{γ}(2)) e che h^{0}(O_{C}(2)) < h^{0}(O_{γ}(2)). Quindi nessuna delle due famiglie è un caso limite dell’altra e le due famiglie stanno su componenti irriducibili diverse di Hilb_{9,10}.

In questo caso ai punti che si trovano nell’intersezione delle due componenti (che non è vuota) corrispondono curve singolari e questo è quello che accade nella maggior parte dei casi in cui si hanno dei punti singolari di Hilb. Accade però che in alcuni casi a punti singolari dello schema di Hilbert corrispondano curve regolari.

Il cuore della tesi è rappresentato dagli ultimi due capitoli, che corrispondono ad altrettanti esempi di questa situazione. Questo fenomeno è abbastanza particolare; ne sono noti alcuni esempi, molto diversi tra loro, e ad oggi non c’è una teoria unitaria per questi fenomeni. Quelli che riporto sono rispettivamente il primo caso trovato di una tale curva ([Mum62]) e il primo caso pubblicato in cui il punto che parametrizza la curva in questione si trova su una componente irriducibile ridotta dello schema di Hilbert.([Ser82])

2 Curva di Mumford

In questo capitolo riportiamo il primo esempio di curva non singolare parametrizzata da un punto singolare dello shcema di Hilbert. Ripercorriamo il filo logico della dimostrazione originale, pubblicata nella seconda parte dell’articolo [Mum62].

Nello spazio ℙ^{3}, costruiremo una curva C non singolare di grado 14 e genere 24. Per verificare che il punto [C] ∈ Hilb_{14,24} è singolare calcoleremo in esso la dimensione di Hilb e del suo spazio tangente. Per questo ci avvarremo dell’isomorfismo tra T_{Hilb,[C]} e H^{0}(N_{C}) che abbiamo visto nel primo capitolo. Per semplicità indicheremo semplicemente con N il fascio normale N_{C/ℙ^{3}}.

2.1 Costruzione di C

Costruiremo la curva che vogliamo su una superficie cubica non singolare. Troveremo “parecchie” curve del tipo che cerchiamo; questo riflette il fatto che quasi tutti i punti in una componente connessa di Hilb che contiene [C] parametrizzano curve che hanno la stessa proprietà.

Sia F una superficie cubica non singolare e indichiamo con H una sua sezione iperpiana e con l una retta contenuta in F. Prendiamo una curva non singolare C appartenente al sistema lineare |4H + 2l|. Tale curva esiste per il teorema di Bertini e si calcola, con le formule che sono note per i divisori su una cubica non singolare, che ha genere 24 e grado 14.

2.2 Dimensione dello spazio tangente a Hilb in C

Come annunciato, useremo l’identificazione tra T_{Hilb,[C]} e H^{0}(N). Questo fa sì che questa sezione si riduca ad un solo lemma, la cui dimostrazione si ottiene semplicemente scrivendo le successioni esatte giuste. Come vedremo poi, in assenza di strumenti altrettanto potenti, calcolare la dimensione di Hilb in C sarà molto più lungo e difficile.

Lemma 2.1 Se N è il fascio normale della curva C costruita prima, si ha che h^{0}(N) = 57

Dimostrazione: Abbiamo la successione esatta

0 → O_{C}(C) → N → O_{C}(3h) → 0  (1)

Dalla formula di aggiunzione si ricava che h^{0}(O_{C}(C)) = 37 e il grado del divisore C|_{C} è abbastanza grande perché h^{1}(O_{C}(C)) = 0, dunque

h^{0}(N) = h^{0}(O_{C}(C)) + h^{0}(O_{C}(3h)) = 37 + h^{0}(O_{C}(3h))

Per calcolare h^{0}(O_{C}(3h)) ricorriamo al teorema di Riemann-Roch sulla curva C; ricordando che K_{C} = C|_{C} − h e che C ∼ 4H + 2l scriviamo

h^{0}(O_{C}(3h)) = deg(3h) − g + 1 + h^{0}(O_{C}(K_{C} − 3h))
= 3 · 14 − 24 + 1 + h^{0}(O_{C}(C|_{C} − h − 3h))
= 19 + h^{0}(O_{C}(2l))

per calcolare h^{0}(O_{C}(2l) ricorriamo alla successione esatta

0 → O_{F} (−4H) → O_{F} (2l) → O_{C}(2l) → 0

Siccome h^{i}(O_{F} (−4H)) = 0 per i = 0, 1, abbiamo che h^{0}(O_{C}(2l)) = h^{0}(O_{F} (2l)) = 1.

Mettendo tutto insieme

h^{0}(N) = 37 + h^{0}(O_{C}(3h))
= 37 + 19 + 1 = 57

□

2.3 Dimensione di Hilb in C

Per brevità diamo qui solo uno schema della dimostrazione. Incominciamo con un’affermazione generale sulle curve del genere e grado che ci interessano:

Proposizione 2.2 Sia γ una curva non singolare di grado 14 e genere 24. Abbiamo che γ giace su due superfici quartiche irriducibili e indipendenti oppure su un’unica superficie cubica.

Conteremo tra poco le curve di questo tipo che giacciono su superfici cubiche; per potere dire che quella che troveremo sarà la dimensione dello schema di Hilbert in [C], però, dobbiamo porci il problema delle curve che invece stanno su quartiche, che a priori potrebbe essere il caso generale.

Lemma 2.3 Una famiglia di curve non singolari di grado 14 e genere 24 contenute in superfici quartiche ha dimensione minore o uguale a 56.

Proposizione 2.4 Una famiglia massimale di curve di grado 14 e genere 24 contenute in superfici cubiche ha dimensione 56.

Corollario 2.5 Le curve di grado 14 e genere 24 contenute in superfici quartiche e quelle contenute in superfici cubiche appartengono a componenti irriducibili distinte dello schema di Hilbert

Dimostrazione: Le curve che giacciono su una quartica non possono essere una specializzazione di quelle che sono su una cubica per il teorema di semicontinuità superiore; nel primo caso h^{0}(I_{γ}(3)) = 0 mentre nel secondo è pari a 1.

D’altra parte le curve che sono su una cubica non possono essere specializzazione di curve su una quartica perché la famiglia che le parametrizza ha dimensione 56 e quella che parametrizza le curve su una quartica, per la 2.3, ha dimensione minore o uguale a 56.

Infine non è possibile che entrambe le famiglie siano specializzazioni di una famiglia più grande perché abbiamo visto che tutte le curve non singolari appartengono all’una o all’altra famiglia. Non resta che concludere che le due famiglie corrispondono a diverse componenti di Hilb. □

Per tutto ciò che è stato detto finora, questa componente di Hilb deve avere dimensione 56, mentre nella sezione precedente abbiamo visto che dim T_{[C],Hilb} = 57. Dunque [C] è un punto singolare per Hilb mentre C è una curva non singolare di ℙ^{3}, come annunciato.

Ci rimane da far vedere che, come abbiamo detto, le curve con la proprietà di C occupano quasi tutta una componente irriducibile di Hilb, che quindi è non ridotta perché il suo generico punto è singolare. Questo fatto si verifica in modo facile perché spostando la cubica F in qualunque modo si possono considerare una retta e una sezione iperpiana che si specializzino a l e h e trovare così una curva che si specializzi a C; dunque l’insieme delle curve con questa proprietà e un aperto, quindi è denso.

3 Intersezione di componenti di Hilb_{18,39}

L’esempio che esponiamo in questo capitolo è stato reso noto nel 1981 da Sernesi in [Ser82] e consiste in una curva C irriducibile e non singolare che rappresenta un punto singolare di Hilb. Il punto che parametrizza la curva C si trova nell’intersezione di due componenti irriducibili di Hilb.

Seguiremo pressappoco lo stessso schema del capitolo precedente: prima affronteremo la costruzione di C; poi, con una stima sulla dimensione di Hilb e un’altra sulla dimensione del suo spazio tangente, dimostreremo che il punto di Hilb che parametrizza C è singolare; infine vedremo che, come abbiamo detto, questo punto cade nell’intersezione di due componenti irriducibili di Hilb.

3.1 Costruzione di C

Costruiremo la curva C su una superficie quartica non singolare come elemento generale di un sistema lineare, assicurandoci quindi la sua regolarità attraverso il teorema di Bertini.

Per costruire C avremo bisogno del fatto che la quartica contenga anche un’altra curva γ tale che:

1. γ deve avere genere 3 e grado 6

2. γ deve giacere su una superficie quadrica ed essere di tipo (4,2) su questa quadrica.

Incominciamo considerando una superficie quadrica non singolare Q ⊂ ℙ^{3}. Dette l e r due rette incidenti su Q, prendiamo la curva non singolare

γ ∈ |4r + 2l|

la cui esistenza è data dal teorema di Bertini. Le formule che si usano per calcolare il genere e il grado di una curva su una quadrica ci dicono che effettivamente γ ha grado 4+2=6 e genere 4 · 2 − 4 − 2 + 1 = 3.

A questo punto, sempre tramite il teorema di Bertini, scegliamo una superficie quartica non singolare F tra quelle che contengono γ. Si vede che

F ∩ Q = γ ∪ l_{1} ∪ l_{2}

dove l_{1} e l_{2} sono due rette linearmente equivalenti a l su Q, coincidenti o sghembe.

La curva C che costituisce il nostro esempio sarà una curva non singolare del sistema lineare |6H − γ|, dove H è, e sarà più avanti, una sezione iperpiana di F. Il genere e il grado di questa curva sono

g = \frac{1}{2}(6H − γ · 6H − γ) + 1 = 39

deg C = (6H − γ) · H = 18.

Infatti dalla formula di aggiunzione abbiamo che K_{γ} ∼ γ^{2}, quindi deg(γ^{2})_{F} = 2 · 3 − 2 = 2; poiché γ è una curva di grado 6, γ · H = 6. H è una sezione iperpiana di F, quindi una curva di grado 4, quindi H^{2} = 4.

3.2 Dimensione dello spazio tangente a Hilb in C

In questa sezione indicheremo con N il fascio normale N_{C/ℙ^{3}} e con h una sezione iperpiana di C.

L’idea è ancora quella di sfruttare l’isomorfismo naturale tra lo spazio tangente a Hilb in C con le sezioni globali del fascio normale H^{0}(N_{C/ℙ^{3}}). Troveremo una stima di h^{1}(N) per poi fare ricorso al fatto noto che

h^{0}(N) − h^{1}(N) = 4 · 18 = 72.

Lavoriamo sulla successione esatta

0 → N_{C/F} → N → O_{C}(4h) → 0

Poiché h^{2}(N_{C/F}) = 0 (siamo su una curva) ho che H^{1}(N) va suriettivamente in H^{1}(O_{C}(4h)), perciò

h^{1}(N) ≥ h^{1}(O_{C}(4h))

quindi, applicando la dualità di Serre e ricordando che C ∈ |6H − γ| e che K_{C} = C · C

h^{1}(N) ≥ h^{0}(O_{C}(K_{C} − 4h)) = h^{0}(O_{C}(2H − γ)).

Adesso consideriamo la successione esatta

0 → O_{F} (−4H) → O_{F} (2H − γ) → O_{C}(2H − γ) → 0

e, siccome h^{0}(O_{F} (−4H)) = 0,

h^{0}(O_{C}(2H − γ)) ≥ h^{0}(O_{F} (2H − γ))

Per calcolare h^{0}(O_{F} (2H − γ)) possiamo scegliere proprio Q ∩ F ∈ |2H|; in questo caso il divisore 2H − γ è effettivo e h^{0}(O_{F} (2H − γ)) ≥ 1.

Dunque

h^{1}(N) ≥ 1

e

dim T_{Hilb,[C]} = h^{0}(N) = 72 + h^{1}(N) ≥ 73.

Osservazione 3.1 È vero che h^{1}(N_{C/F}) = 1, ma in questo caso succede che la mappa di cobordo non è nulla; dunque h^{1}(N) = h^{0}(O_{C}(2h − γ)). Questo vuol dire che muovendo la curva γ in modo che non giaccia più su una quadrica, e ripetendo la stessa costruzione, si ottiene una curva C′ su una quartica F′ per cui h^{1}(N_{C′/F′}) = 0, quindi che è parametrizzata da un punto non singolare di Hilb. Questo fatto ci sarà utile nella prossima sezione.

3.3 Dimensione di Hilb in C

Per prima cosa si costruisce una famiglia unidimensionale di curve con fibra centrale C procedendo in analogia alla costruzione di C sulla quartica F. Prenderemo una famiglia di curve di genere 3 e grado 6, che chiameremo Γ, contenuta in una famiglia di superfici quartiche non singolari F in modo che Γ_{s} ⊂ F_{s}; poi prenderemo una famiglia H di sezioni iperpiane delle F_{s} e procederemo su ciascuna F_{s} come abbiamo fatto su F utilizzando Γ_{s} e H_{s} in luogo di γ e H ottenendo una famiglia C con fibra centrale C_{s_{0}} = C.

\begin{matrix}C & ⊂ ℙ^{3} × S \\ ↓ \\ S \end{matrix}

Adesso prendiamo un generico s_{1} ≠ s_{0} e consideriamo la curva C′ := C_{s_{1}}. Se s_{1} è abbastanza generale, C_{s_{1}} è contenuta in un unica quartica che è non singolare.

Per quello che abbiamo detto alla fine della sezione precedente,h^{1}(N_{C′}) = 0 e in conseguenza di ciò il punto [C′] è non singolare, dunque sta su un’unica componente di Hilb e questa è ridotta. Sulla stessa componente irriducibile si trova anche [C] poiché C′ si specializza a C.

A questo punto si fa vedere che esiste un aperto U della componente irriducibile di Hilb cui appartengono [C] e [C′] i cui punti parametrizzano curve contenute in quartiche; questo fatto si ottiene attraverso la semicontinuità superiore e qualche trucco basato sulle successioni esatte di coomologia. Non è difficile calcolare la dimensione di U. Una superficie quartica che contenga curve di grado 18 e genere 39 ne contiene una famiglia di dimensione al più 39; questo perché le curve di un fissato genere e grado formano un numero finito di classi di equivalenza lineare e ciascuna ha dimensione 39. Bisogna ricordare che la quartica generale contiene solo curve il cui grado sia un multiplo di 4, dunque le quartiche che contengono curve parametrizzate dai punti di U sono al più

(\begin{matrix}3 + 4 \\ 3 \end{matrix}) − 1 − 1 = 33. In conclusione:

dim Hilb_{[C′]} = dim U ≤ 39 + 33 = 72.

Abbiamo detto che [C] sta sulla stessa componente connessa di [C′] e abbiamo visto che questa contiene dei punti non singolari; quindi il punto [C] si trova in almeno una componente irriducibile ridotta di dimensione inferiore a quella del suo spazio tangente. Questo garantisce che [C] è un punto singolare.

Riferimenti bibliografici

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