UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Tesi di Laurea in Matemetica

di

Cristina Trifolelli

I numeri p-adici

Relatore

Prof. Florida Girolami

Il Candidato  Il Relatore

ANNO ACCADEMICO 2002 - 2003 LUGLIO 2003

Classificazione AMS: 13J99, 13M05 Parole chiavi: Interi p-adici, Numeri p-adici

Sintesi della tesi

‘The p-adic numbers are every bit as natural and worthy of study as the reals and complex’.^{(1)}

Di seguito riportiamo i risultati principali dimostrati nel nostro lavoro.

Al fine di rendere la nostra trattazione autocontenuta, nel primo capitolo illustriamo le nozioni fondamentali. Nel primo paragrafo del primo capitolo richiamiamo:

• la definizione di anello di valutazione e ne dimostriamo alcune proprietà;

• definiamo le valutazioni di un campo a valori in un gruppo totalmente ordinato;

• la definizione di valutazione discreta;

• la definizione di anelli di valutazione discreta e ne dimostriamo alcune proprietà.

Un esempio importante di valutazione discreta del campo dei numeri razionali è la valutazione p-adica introdotta da Hensel nel 1908: sia p un numero primo fissato, sappiamo che ogni x ∈ ℚ^{∗} si scrive in modo unico come x = p^{α} \frac{a}{b} dove a, b, α ∈ ℤ, b ≠ 0 ed p ∤ ab, allora l’applicazione definita da v_{p} : ℚ ⟶ ℤ_{∞}

v_{p}(x) := \{ \begin{matrix}α & se x = p^{α} \frac{a}{b} ≠ 0 \\ ∞ & se x = 0 \end{matrix}

(1)( [3] pag. v)

si chiama valutazione p-adica.

Nel secondo paragrafo del primo capitolo ricordiamo:

• la definizione di valore assoluto archimedeo e non-archimedeo. Un esempio non banale di valore assoluto non archimedeo è il valore assoluto p-adico, che indichiamo con | |_{p}: sia p un numero primo, sia K = ℚ e sia v_{p} la valutazione p-adica su ℚ, definiamo valore assoluto p-adico l’applicazione | |_{p} : ℚ ⟶ ℝ_{⩾0} nel seguente modo

|x|_{p} = \{ \begin{matrix}p^{−v_{p}(x)} & se x ≠ 0 \\ 0 & se x = 0 \end{matrix}

• caratterizziamo i valori assoluti archimedei e non-archimedei in relazione al loro comportamento nei confronti del sottoanello fondamentale del campo K sul quale sono definiti;

Ogni campo K sul quale è definito un valore assoluto | | risulta essere un campo topologico dunque, tralasciando il caso banale,

• studiamo i dischi aperti di centro x ∈ K e raggio r > 0, i.e. B_{r}(x) = {y ∈ K : |y − x| < r} , e gli insiemi C_{r}(x) = {y ∈ K : |y − x| ⩽ r};

• mostriamo che nel caso in cui il valore assoluto | | è non-archimedeo, B_{r}(x) e C_{r}(x) sono dei clopen e godono di particolari proprietà;

• dimostriamo che un campo sul quale è definito un valore assoluto non-archimedeo è totalmente sconnesso.

Il primo capitolo termina con lo studio dei valori assoluti definiti sul campo dei numeri razionali ℚ:

• definiamo equivalenti due valori assoluti su un campo K se inducono la stessa topologia su K; • mostriamo il Teorema di Ostrowski (1918):

Ogni valore assoluto non banale definito su ℚ è equivalente ad un valore assoluto | |_{p} dove p è un numero primo oppure p = ∞.

• Per mezzo della Formula del Prodotto stabiliamo una stretta relazione tra i valori assoluti definiti su ℚ: per ogni y ∈ ℚ − {0} si ha che ∏_{p⩽∞}|y|_{p} = 1 dove p ⩽ ∞ significa che consideriamo il prodotto su tutti i numeri primi e ∞.

Finiamo con alcune considerazioni sulle successioni di Cauchy ad elementi in un campo K con valore assoluto non-archimedeo.

Nel secondo capitolo, fissato p numero primo, costruiamo il campo dei numeri p-adici in due modi differenti (ma equivalenti).

Nel primo paragrafo del secondo capitolo costruiamo ℚ_{p} come completamento di ℚ rispetto al valore assoluto p-adico:

• mostriamo che ℚ non è completo rispetto a | |_{p}, sicché ha senso parlare del completamento di ℚ rispetto al valore assoluto p-adico.

• Consideriamo l’insieme ℭ di tutte e sole le successioni di Cauchy in ℚ rispetto a | |_{p}, il quale risulta un anello nel quale si può immergere ℚ associando ad ogni q ∈ ℚ la successione costante (q)_{n⩾0}.

• Definiamo il campo dei numeri p-adici come il campo quoziente ℚ_{p} := ℭ/𝔐.

• Estendiamo a ℚ_{p} il valore assoluto p-adico definito su ℚ ponendo,

per ogni (x_{n})_{n⩾1} + 𝔐, |(x_{n})_{n⩾1} + 𝔐|_{p} := lim_{n→∞}|x_{n}|_{p}.

• ℚ_{p} è un campo topologico e, identificando ℚ con la sua immagine attraverso l’omomorfismo anulare iniettivo che associa ad ogni numero razionale q la classe d’equivalenza in ℚ_{p} della successione costante (q)_{n⩾0}, mostriamo che ℚ è denso in ℚ_{p}.

• Mostriamo poi che ℚ_{p} è completo rispetto al valore assoluto p-adico.

• Estendiamo anche la valutazione p-adica v_{p} a ℚ_{p} e quindi definiamo l’anello degli interi p-adici ℤ_{p} come l’anello di valutazione associato alla valutazione v_{p}.

• Per mezzo delle unità di ℤ_{p}, proviamo che ogni elemento non nullo x di ℚ_{p} si scrive in modo unico come x = p^{m}u dove m ∈ ℤ e u ∈ U(ℤ_{p}).

Dimostriamo alcune proprietà dell’anello degli interi p-adici quali:

• l’ideale massimale di ℤ_{p} è pℤ_{p};

• ℚ ∩ ℤ_{p} = ℤ_{(p)};

• ad ogni a ∈ ℤ_{p} si può associare un’unica successione (z_{n})_{n⩾1} di numeri interi tali che per ogni n ⩾ 1:

• 0 ⩽ z_{n} < p^{n};

• z_{n+1} ≡ z_{n} (mod p^{n}).

Quest’ultimo risultato suggerisce come operare con i numeri p-adici.

• Mostriamo inoltre che ℤ_{p} è il completamento di ℤ;

• ℚ_{p} = ℤ_{p}[1/p];

• l’insieme {p^{n}ℤ_{p} : n ∈ ℤ} è un sistema fondamentale di intorni dello 0 in ℚ_{p}.

Quest’ultimo risultato porta ad una caratterizzazione della valutazione p-adica su ℚ_{p} che evidenzia la profonda connessione tra la struttura topologica e quella algebrica di ℚ_{p}: per ogni x ∈ ℚ_{p}, se n_{0} = sup{n ∈ ℤ : x ∈ p^{n}ℤ_{p}}, allora v_{p}(x) = n_{0}.

Alla fine del paragrafo mostriamo che:

• per ogni n, l’anello ℤ_{p}/p^{n}ℤ_{p} è isomorfo all’anello ℤ/p^{n}ℤ;

• ℤ_{p} è compatto;

• ℚ_{p} è localmente compatto e totalmente sconnesso.

Nel secondo paragrafo del secondo capitolo costruiamo il campo dei numeri p-adici come campo dei quozienti del limite inverso del sistema inverso (R_{n}, f_{n+1,n})_{n⩾1}, dove per ogni n ⩾ 1 poniamo R_{n} := ℤ/p^{n}ℤ e

f_{n+1,n} : R_{n+1} ⟶ R_{n}

z + p^{n+1}ℤ ⟼ z + p^{n}ℤ

e mostriamo che le due costruzioni sono equivalenti.

In dettaglio:

• posto A := ∏_{n⩾1}R_{n} e π_{n} : A ⟶ R_{n} la proiezione canonica, verifichiamo che Z_{p} := {a ∈ A : f_{n+1,n}(π_{n+1}(a)) = π_{n}(a), ∀n ⩾ 1} è un sottoanello topologico compatto di A (dotato della topologia prodotto delle topologie discrete) ed è il limite inverso del sistema inverso (R_{n}, f_{n+1,n})_{n⩾1}.

• Mostriamo che per ogni a ∈ Z_{p}, la famiglia V_{k}(a) := {x ∈ Z_{p} : π_{k}(x) = π_{k}(a)} con k > 0 costituisce una base di intorni di a;

• potendo immergere in modo naturale ℤ in A, mostriamo che esiste un anello isomorfo a ℤ denso in Z_{p}.

• illustriamo lo sviluppo di Hensel che fornisce un modo molto suggestivo per rappresentare gli elementi di Z_{p}: per ogni a ∈ Z_{p} esiste una ed una sola successione di interi (z_{n})_{n⩾0}, con 0 ⩽ z_{n} < p, tale che la serie ∑_{n⩾0}z_{n}p^{n} converge ad a; tale serie si chiama sviluppo di Hensel dell’intero p-adico a.

• Estendiamo dunque la valutazione p-adica da Z a Z_{p}; ciò ci permette di mostrare che Z_{p} è un dominio di integrità di caratterizzare le sue unità.

• Ponendo Q_{p} := q.f.(Z_{p}), mostriamo che ogni elemento non nullo x di Q_{p} si scrive in modo unico come x = p^{m}u dove m ∈ ℤ e u ∈ U(Z_{p}).

• Estendiamo la valutazione p-adica anche a Q_{p}, sul quale risulta una valutazione discreta il cui anello di valutazione è Z_{p}.

• Estendiamo lo sviluppo di Hensel agli elementi di Q_{p}:

ogni x ∈ Q_{p} si scrive in modo unico come x = ∑_{n⩾n_{0}}x_{n}p^{n} dove 0 ⩽ x_{n} < p ed n_{0} ∈ ℤ; tale serie si chiama sviluppo di Hensel di x ∈ Q_{p}.

• dimostriamo che ℤ_{p} e Z_{p} sono isomorfi, e quindi anche ℚ_{p} e Q_{p} sono isomorfi.

• L’anello degli interi p-adici ha la cardinalità del continuo.

Il capitolo si conclude mostrando come operare con i numeri p-adici utilizzando il loro sviluppo di Hensel e con la caratterizzazione dei numeri razionali attraverso lo sviluppo di Hensel.

Il terzo capitolo è interamente dedicato al Lemma di Hensel, che riveste un ruolo centrale nello studio dei polinomi a coefficienti nell’anello degli interi p-adici ℤ_{p}, e alle sue applicazioni.

Nel primo paragrafo del terzo capitolo riportiamo tre versioni del Lemma di Hensel ognuna delle quali è importante.

L’enunciato della prima versione del Lemma di Hensel è:

sia f(X) = a_{0} + a_{1}X + … + a_{n}X^{n} un polinomio a coefficienti in ℤ_{p} e sia f′(X) la sua derivata formale. Se esiste un intero p-adico α_{1} ∈ ℤ_{p} tale che f(α_{1}) ≡ 0 (mod pℤ_{p}) e f′(α_{1}) ≢ 0 (mod pℤ_{p}) allora esiste un intero p-adico α ∈ ℤ_{p} tale che α ≡ α_{1} (mod pℤ_{p}) e f(α) = 0.

L’enunciato della seconda versione del Lemma di Hensel è il seguente:

sia f(X) ∈ ℤ_{p}[X]; se esistono g_{1}(X), h_{1}(X) ∈ ℤ_{p}[X] tali cheg_{1}(X) è monico, g_{1}(X) e h_{1}(X) sono relativamente primi modulo p, f(X) ≡ g_{1}(X)h_{1}(X) (mod p); allora esistono g(X), h(X) ∈ ℤ_{p}[X] tali che g(X) è monico, g(X) ≡ g_{1}(X) (mod p) e h(X) ≡ h_{1}(X) (mod p), f(X) = g(X)h(X).

Utilizzado questa versione dimostriamo facilmente che ℚ_{p} contiene l’insieme delle radici (p − 1)-esime dell’unità.

La terza versione del Lemma di Hensel è:

sia f(X) ∈ ℤ_{p}[X] e sia f′ la derivata prima formale di f(X); se esiste a_{0} ∈ ℤ_{p} tale che |f(a_{0})|_{p} < |f′(a_{0})|_{p}^{2} allora esiste a ∈ ℤ_{p} tale che f(a) = 0.

Nel secondo paragrafo del terzo capitolo caratterizziamo i quadrati ed i cubi in ℚ_{p} con l’aiuto del Lemma di Hensel. Si verifica facilmente che x ∈ ℚ_{p}^{∗} è un quadrato se e solo se x = p^{2m}y^{2} dove m ∈ ℤ e y ∈ U(ℤ_{∣}) e che x ∈ ℚ_{p}^{∗} è un cubo se e solo se x = p^{3m}y^{3} dove m ∈ ℤ e y ∈ U(ℤ_{∣}); quindi basta studiare i quadrati e i cubi in U(ℤ_{p}):

− se p ≠ 2, un’unità p-adica u è un quadrato in U(ℤ_{p}) se e solo se esiste a_{0} ∈ ℤ_{p} tale che |a_{0}^{2} − u|_{p} < 1;

− se p = 2, sia b ∈ ℤ_{2}; b è un quadrato in U(ℤ_{2}) se e solo se b ≡ 1 (mod 2^{3})

− se p ≠ 3, b è un cubo in U(ℤ_{p}) se e solo se esiste c ∈ ℤ_{p} tale che |b − c^{3}| < 1; − se p = 3, sia b ∈ U(ℤ_{3}), b è un cubo in ℤ_{3} se e solo se b ≡

±1 (mod 3^{2}ℤ_{3}).

Lo studio dei quadrati in ℚ_{p} ci permette di verificare facilmente che ℚ_{p} non è ordinato, infatti l’equazione X^{2} + 7 ha soluzioni in ℚ_{2} e, se p ≠ 2, l’equazione X^{2} + (p − 1) ha soluzioni in ℚ_{p}.

Nel quarto capitolo studiamo le proprietà della chiusura algebrica ℚ̄_{p} del campo dei numeri p-adici.

Nel primo paragrafo del quarto capitolo poniamo le basi per studiare gli ampliamenti finiti di ℚ_{p}:

• sia K un campo dotato di valore assoluto non banale, definiamo la norma su K-spazi vettoriali V di dimensione finita ed consideriamo la norma del sup;

• un K-spazio vettoriale V dotato di norma è uno spazio vettoriale topologico; in analogia a quanto fatto per i valori assoluti, definiamo una relazione d’equivalenza tra norme e dimostriamo che due norme equivalenti inducono la stessa topologia.

Scopo di questo primo paragrafo è dimostrare che se K è un campo completo rispetto ad un valore assoluto non banale | | e se L è un ampliamento finito di K, allora esiste un’unica estensione di | | a L.

Per dimostrare l’unicità mostriamo che, se K è un campo completo rispetto ad un valore assoluto non banale | | :

• se V è un K-spazio vettoriale di dimensione finita dotato della norma del sup, V è completo rispetto alla metrica indotta da tale norma; • se V è un K-spazio vettoriale di dimensione finita, prese comunque

due norme su V, esse sono equivalenti e V è completo rispetto alla metrica indotta da ogni norma;

• se L è un ampliamento finito di K, allora esiste al più un’estensione di | | a L ed L è completo rispetto a tale valore assoluto.

Per dimostrare l’esistenza di tale estensione, per ogni L ampliamento finito di K, definiamo l’applicazione Norma da L a K:

L è un K-spazio vettoriale e per ogni α ∈ L possiamo considerare l’applicazione lineare di L in L data dalla moltiplicazione per α. Definiamo N_{L/K}(α) come il determinante di tale applicazione lineare.

Attraverso questa applicazione dimostriamo che: se L è un ampliamento finito di ℚ_{p} dotato di un valore assoluto | | che estende il valore assoluto p-adico, è possibile di calcolare il valore assoluto di x ∈ L conoscendo soltanto il valore assoluto p-adico di N_{L/ℚ_{p}}(x).

Quindi dimostriamo che se L è un ampliamento di ℚ_{p} di grado n esiste esattamente un’estensione di | |_{p} ad L data da |x| = \sqrt[n]{|N_{L/ℚ_{p}}(x)|_{p}} per ogni x ∈ L.^{(2)}

Nel secondo paragrafo del quarto capitolo dimostriamo che la chiusura algebrica ℚ̄_{p} non è un ampliamento finito di ℚ_{p}.

In particolare mostriamo che anche su ℚ̄_{p} esiste un valore assoluto che estende il valore assoluto p-adico.

Successivamente evidenziamo che:

• Sia f(X) ∈ ℤ_{p}[X], se esistono g(X), h(X) ∈ ℚ_{p}[X] non costanti tali che f(X) = g(X)h(X), allora esistono g_{0}(X), h_{0}(X) ∈ ℚ_{p}[X] non costanti tali che f(X) = g_{0}(X)h_{0}(X).

(2)Per un risultato più generale rimandiamo a [3].

• Sia f(X) ∈ ℤ_{p}[X] un polinomio monico tale che f̄(X) ∈ ℤ/pℤ[X] è irriducibile su ℤ/pℤ, allora f(X) è irriducibile su ℚ_{p}.

Ne deduciamo che, per ogni n esiste un polinomio di grado n irriducibile su ℚ_{p}, i.e. che per ogni n esiste un ampliamento di ℚ_{p} di grado n, quindi ℚ̄_{p} non può avere grado finito su ℚ_{p} poiché contiene per ogni n un ampliamento di ℚ_{p} di grado n.

Per completezza dimostriamo poi che esistono polinomi irriducibili su ℚ_{p} la cui riduzione modulo p è riducibile su 𝔽_{p}: sono i polinomi che soddisfano il Criterio di irriducibilità di Eisestein.

Nel terzo paragrafo del quarto capitolo studiamo gli ampliamenti finiti di ℚ_{p}.

• Per essi definiamo una valutazione che estende v_{p} il cui gruppo dei valori è della forma \frac{1}{e}ℤ dove e è un divisore del grado dell’ampliamento di ℚ_{p} chiamato indice di ramificazione.

• Definiamo gli ampliamenti ramificati, non ramificati e totalmente ramificati.

• Dimostriamo che per ogni f esiste esattamente un ampliamento non ramificato di ℚ_{p} di grado f ed esso può essere ottenuto aggiungendo a ℚ_{p} una radice primitiva (p^{f} − 1)-esima dell’unità.

• Definiamo l’ampliamento massimale non ramificato ℚ_{p}^{unr} e dimostriamo che esso può essere ottenuto aggiungendo a ℚ_{p} le radici m-esime dell’unità per ogni intero m primo con p.

Nel paragrafo quattro del quarto capitolo concludiamo dimostrando che la chiusura algebrica del campo dei numeri p-adici non è un campo completo rispetto all’unico valore assoluto che estende il valore assoluto p-adico.

Nella tabella che segue schematizziamo analogie e differenze tra ℝ e ℚ_{p}.

ℝ  ℚ_{p}
completamento di ℚ rispetto ad | |_{∞} completamento di ℚ rispetto ad | |_{p}
non algebricamente chiuso  non algebricamente chiuso
localmente compatto  localmente compatto
cardinalità del continuo  cardinalità del continuo
ℂ è completo ℚ̄_{p} non è un campo completo
ordinato  non ordinato
connesso  totalmente sconnesso

Tabella 1: analogie e differenze.

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