I ESONERO CP3: 8-4-2002 E. Scoppola Soluzioni

Esercizio 1

Punto a.

Posto N ≡ b e ϵ ≡ p^{b}, abbiamo:

\begin{matrix}ℙ (T ≤ n + N | F_{n})) ≥ \\ ≥ ℙ (\{T ≥ n + N\} ∩ \{X_{i} = 1, ∀ i = n + 1, …, n + N\} | F_{n}) p^{N} = p^{b} \end{matrix}

Punto b (1) [caso p ≠ q].

Definita M_{n} ≡ (\frac{q}{p})^{S_{n}} verifichiamo che 𝔼(M_{n+1} | F_{n}) = M_{n}:

\begin{aligned}𝔼 (M_{n} | F_{n−1}) & = 𝔼 ((\frac{q}{p})^{S_{n−1}+X_{n}} | F_{n}) = (\frac{q}{p})^{S_{n−1}} 𝔼 ((\frac{q}{p})^{X_{n}}) = \\ & = (\frac{q}{p})^{S_{n−1}} [\frac{q}{p} · p + 1 − (p + q) + (\frac{p}{q}) q] = M_{n−1} c.v.d. \end{aligned}

Punto b (2).

Ricordando la definizione data nel testo N_{n} ≡ S_{n} − n(p − q) non resta che calcolare:

\begin{aligned}𝔼 (N_{n} | F_{n−1}) & = 𝔼 (S_{n−1} + X_{n} − n(p − q) | F_{n−1}) = \\ & = S_{n−1} − (n − 1)(p − q) + 𝔼(X_{n}) − (p − q) = N_{n−1} c.v.d. \end{aligned}

Punto b (3).

Ci viene chiesto di calcolare un tempo di arresto ed é quindi naturale usare il Teorema di Doob in modo da ottnere:

𝔼(M_{T}) = 𝔼(M_{0}) = (\frac{q}{p})^{a}

del resto abbiamo anche:

𝔼(M_{T}) = (\frac{q}{p})^{b} ℙ (S_{t} = b) + 1 · ℙ(S_{T} = 0)  e  ℙ(S_{T} = 0) = 1 − ℙ(S_{T} = b)

ne viene che:

ℙ (S_{T} = b) [(\frac{q}{p})^{b} − 1] = (\frac{q}{p})^{a} − 1 ⇒ ℙ (S_{T} = b) = \frac{(\frac{q}{p})^{a} − 1}{(\frac{q}{p})^{b} − 1}

e quindi:

ℙ (S_{T} = 0) = 1 − ℙ (S_{T} = b) = \frac{(\frac{q}{p})^{b} − (\frac{q}{p})^{a}}{(\frac{q}{p})^{b} − 1}

Punto b (4). Ancora per mezzo dell’ applicazione del teorema di Doob abbiamo:

𝔼(N_{T}) = 𝔼(N_{0}) = a

𝔼(N_{T}) = 𝔼 (S_{T} − T (p − q)) = bℙ (S_{T} = b) − 𝔼(T)(p − q)

da cui ricaviamo:

𝔼(T) = \frac{1}{p − q} [−a + bℙ(S_{T} = b)]

Punto c (1) [caso p = q]. Se p = q ⇒ 𝔼(X_{n}) = 0 ⇒ S_{n} é una martingala. Punto c (2). Come nel punto (b) passiamo direttamente ai calcoli ricordando che abbiamo definito R_{n} ≡ S_{n}^{2} − 2pn, abbiamo:

𝔼 (R_{n} | F_{n−1}) = 𝔼 (S_{n}^{2} − 2np | F_{n−1}) = 𝔼 ((S_{n−1} + X_{n})^{2} | F_{n−1}) − 2pn =
= S_{n−1}^{2} + 2S_{n−1}𝔼(X_{n}) + 𝔼(X_{n}^{2}) − 2pn
= S_{n−1}^{2} + 2p − 2pn = R_{n−1} c.v.d.

Punto c (3). Ancora dal Teorema di Doob abbiamo:

𝔼(S_{T}) = 𝔼(S_{0}) = a e 𝔼(S_{T}) = bℙ(S_{T} = b)

cosicché:

P (S_{T} = b) = \frac{a}{b}

Punto c (4). Sempre per Doob otteniamo:

𝔼(R_{T}) = 𝔼(R_{0}) = a^{2} e 𝔼(R_{T}) = b^{2}ℙ(S_{T} = b) − 2p 𝔼(T)

ne viene che:

𝔼(T) = \frac{1}{2p}(b^{2} \frac{a}{b} − a^{2}) = \frac{a}{2p}(b − a)

Punto d. Ovviamente:

\frac{q}{p} = 1 − \frac{p − q}{p} = 1 − \frac{ϵ}{p} dove ϵ ≡ p − q

inoltre, sviluppano f(x) ≡ (1 − \frac{x}{p})^{α}, con α > 0, in un intorno di 0, otteniamo:

ℙ (S_{T} = b) = \frac{(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1}{(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1} ∼ \frac{1 − \frac{aϵ}{p} − 1}{1 − \frac{bϵ}{p} − 1} = \frac{a}{b}

analogamente per 𝔼(T) otteniamo:

𝔼(T) = \frac{1}{ϵ} [b\frac{(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1}{(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1} − a] ≃ \frac{a(b − a)}{2p}

infatti essendo:

\frac{d}{dϵ} [\frac{(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1}{(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1}] = \frac{−\frac{a}{p} (1 − \frac{ϵ}{p})^{a−1} [(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1] + [(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1] \frac{b}{p} (1 − \frac{ϵ}{p})^{b−1}}{((1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1)^{2}}

abbiamo:

\frac{(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1}{(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1} ≃ \frac{a}{b} + ϵ\frac{d}{dϵ} [\frac{(1 − \frac{ϵ}{p})^{a} − 1}{(1 − \frac{ϵ}{p})^{b} − 1}]_{ϵ=0} ≃ \frac{a}{b} + ϵ\frac{(ab − a^{2})}{2pb}

Esercizio 2 Punto 1. Abbiamo:

∞ > ∑_{n≥1} 𝔼 (\frac{Y_{n}^{2}}{1+ | Y_{n} |}X_{\{|Y_{n}|≤1\}} + \frac{Y_{n}^{2}}{1+ | Y_{n} |}X_{\{|Y_{n}|>1\}}) ≥

≥ ∑_{n≥1} 𝔼 (\frac{Y_{n}^{2}}{2} X_{\{|Y_{n}|≤1\}} + \frac{| Y_{n} |^{2}}{2 | Y_{n} |}X_{\{|Y_{n}|>1\}}) =

= \frac{1}{2} ∑_{n≥1} 𝔼 (Y_{n}^{2}X_{\{|Y_{n}|≤1\}}+ | Y_{n} | X_{\{|Y_{n}|>1\}}) c.v.d.

Punto 2. Sapendo che 𝔼(Y_{n}) = 0 abbiamo che:

Y_{n}^{1} ≡ Y_{n}X_{{|Y_{n}|≤1}} = Y_{n} (1 − X_{{|Y_{n}|>1}})

da cui effettivamente ricaviamo:

𝔼 (Y_{n}^{1}) = \underbrace{𝔼(Y_{n})}_{=0} −𝔼 (Y_{n}X_{\{|Y_{n}|>1\}}) = −𝔼 (Y_{n}X_{\{|Y_{n}|>1\}})

Punto 3. Iniziamo,usando il punto (1), con il dimostrare la convergenza della serie ∑_{n≥1} 𝔼(Y_{n}^{1}):

∑_{n≥1} 𝔼(Y_{n}^{1}) ≤ ∑_{n≥1} | 𝔼 (Y_{n}^{1}) |= ∑_{n≥1} | 𝔼 (Y_{n}X_{{|Y_{n}|>1}}) |≤ ∑_{n≥1} 𝔼 (| Y_{n} | X_{{|Y_{n}|>1}}) < ∞

mentre per quanto riguarda la serie delle varianze abbiamo, sempre dal punto (1):

∑_{n≥1} V ar (Y_{n}^{1}) ≤ ∑_{n≥1} 𝔼 [(Y_{n}^{1})^{2}] = ∑_{n≥1} Y_{n}^{2}X_{{|Y_{n}|≤1}} < ∞

Punto 4. Applicando Chebyshev e sfruttando i risultati del punto (1) otteniamo immediatamente:

∑_{n≥1} ℙ (| Y_{n} |> 1) ≤ ∑_{n≥1} 𝔼 (| Y_{n} | X_{{|Y_{n}|>1}}) < ∞

Punto 5. Per dimostarre la convergenza (quasi certamente) della serie ∑_{n≥1} Y_{n} basta applicare il Teorema delle tre serie di Kolmogorov e sfruttare i risultati ottenuti ai punti (3) e (4).