SCRITTO DI CP3 : 10-7-2002 E. Scoppola Soluzioni

Esercizio 1

Si veda la soluzione all’ esercizio 1 data nel foglio relativo alla correzione dello scritto di CP3 del 10/09/2002

Esercizio 2

Definita S_{n} ≡ ∑_{k=1}^{n} X_{k}, abbiamo che :

ℙ (| S_{n} |> nσ) = ℙ (S_{n} > nσ) + ℙ (S_{n} < −nσ) = 2ℙ (S_{n} > nσ)

ora, applicando il Teorema di Cramer, se definiamo I(z) ≡ sup_{t∈ℝ} (zt − log ϕ(t)) abbiamo che:

lim_{n→∞} \frac{1}{n} log (S_{n} > nσ) = −I(σ)

cosicché calcolando, ad esempio per X_{1}, la ϕ(t):

ϕ(t) = 𝔼 (e^{tX_{1}}) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ} ∫_{−∞}^{+∞} e^{tx}e^{− \frac{x^{2}}{2σ^{2}}} dx = \frac{e^{\frac{(tσ)^{2}}{2}}}{\sqrt{2π}σ} ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{1}{2σ^{2}} (x−tσ^{2})^{2}}dx = e^{\frac{t^{2}σ^{2}}{2}}

definendo:

f(t) ≡ zt − log ϕ(t) = zt − \frac{(tσ)^{2}}{2}

otteniamo:

f′(t) = z − tσ^{2}

da cui, preso t = t_{0} = \frac{z}{σ^{2}} , abbiamo:

f′(t) = 0

quindi \frac{z}{σ^{2}} è un punto critico per la funzione f(t) ed in particolare ne realizza il massimo su ℝ, da cui:

I(z) = max_{t∈ℝ} f(t) = \frac{z^{2}}{σ^{2}} − \frac{z^{2}}{2σ^{2}} = \frac{z^{2}}{2σ^{2}} ⇒ I(σ) = \frac{1}{2}

Domanda

Si veda pag. 13-14