SCRITTO DI CP3 : 10-9-2002 E. Scoppola Soluzioni

Esercizio 1

Punto 1.

Anche se ∀n le v.a. X_{n} sono effettivamente in L^{1} ed in particolare si ha 𝔼X_{n} = 0, si dimostra che la famiglia {X_{n}} non é limitata nello spazio L^{1}, infatti se definiamo:

C_{n}^{−1} ≡ ∫_{2}^{2+n^{α}} \frac{1}{x^{2} ln x} < (ln 2)^{−1} [\frac{1}{2} − \frac{1}{2 + n^{α}} ] < 1

allora:

sup_{n} 𝔼 | X_{n} | = sup_{n} 2C_{n} ∫_{2}^{2+n^{α}} \frac{1}{x log x}dx =
= sup_{n} 2C_{n} [lg_{2}(2 + n^{α}) − lg_{2} 2] > 2 sup_{n} [lg_{2} (\frac{2 + n^{α}}{2} )] = ∞

ne viene che la famiglia di v.a. {X_{n}} non essendo limitata in L^{1} non può ivi essere Uniformemente Integrabile.

Punto 2.

Per quanto visto al punto precedente e ricordando che 𝔼X_{n} = 0, appare ovvio come il processo M_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k} non possa che essere una martingala.

Punto 3.

Il processo M_{n} non converge quasi sicuramente per n → ∞ e questo fatto può essere visto con il Teorema ’delle tre serie’ di Kolmogorov il quale afferma che la serie di v.a. ∑_{n≥1} X_{n} converge sse ∀k sono rispettate le seguenti tre condizioni:

a) ∑_{n≥1} ℙ (| X_{n} |> k) < ∞

b) ∑_{n} 𝔼 (X_{n}^{k}) è convergente

c) ∑_{n≥1} V ar (X_{n}^{k}) < ∞

tuttavia nel nostro caso la condizione (a) non è rispettata per k = 2 essendo ℙ (| X_{n} |> 2) = 1 ∀n.

Punto 4.

Poiché abbiamo ∀n 𝔼X_{n} = 0 e ricordando che α ∈ (0, 1) allora:

∑_{n≥1} \frac{V arX_{n}}{n^{2}} = ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}} 2 ∫_{2}^{2+n^{α}} \frac{1}{log x}dx ≤ ∑_{n≥1} \frac{2}{n^{2}} \frac{1}{log 2}n^{α} < ∞

ne viene la convergenza a zero q.o. della serie ∑_{k=1}^{n} \frac{X_{k}}{n}, ovvero la Legge Forte dei Grandi Numeri.

Esercizio 2

Punto 1.

Indichiamo con ν_{i} , i ∈ {0, 1} la misura empirica relativa al valore i = 1, 2 e con ν_{ij} , i, j ∈ {0, 1} la corrispondente misura empirica di coppia. Per le condizioni imposte alla sequenza di v.a. X_{n} ricaviamo che:

\begin{cases}ν_{00} = 0 \\ ν_{10} = ν_{11} \end{cases}

inoltre:

ν_{01} + ν_{11} = ν_{10} + ν_{11} ⇒ ν_{10} = ν_{01}

con:

∑_{i,j∈{0,1}} ν_{ij} = 1

conseguentemente si deve avere ν_{0,1} = ν_{10} = ν_{11} = \frac{1}{3} cosicché:

ν̄_{0} = ν_{01} + ν_{00} = \frac{1}{3} = ν_{0}

mentre

ν̄_{1} = ν_{10} + ν_{11} = \frac{2}{3} = ν_{1}

Punto 2.

Calcoliamo la possibilità di realizzazione della sequenza suggerita dal testo per mezzo del teorema di grandi deviazioni, tanto per la misura empirica, quanto per quella empirica di coppia.

I_{ρ}(ν) = \frac{1}{3} log \frac{2}{3} + \frac{2}{3} log \frac{4}{3} = \frac{5}{3} log 2 − log 3

mentre:

I_{ρ}^{2}(ν) = \frac{1}{3} [log 2 + log 1 + log 1] = \frac{1}{3} log 2

Punto 3.

Dal punto precedente ricaviamo che che effettivamente I_{ρ}(ν) < I_{ρ}^{2}(ν), del resto per il principio di contrazione il risultato di grandi deviazioni per la misura empirica può essere ricavato da quello per la misura empirica di coppia sommando su tutte le m.e. di coppia che danno luogo alla data m.e. e quindi I_{ρ}(ν) < I_{ρ}^{2}(ν).