SCRITTO di PS5 : 13-7-2001 E. Scoppola Soluzioni

Esercizio 1 Punto 1. Per simmetria abbiamo che 𝔼(X_{k}) = 0 ∀k ∈ ℕ ne viene che U_{n} è somma di variabili indipendenti a media nulla ed è quindi una martingala. Punto 2. Utiliziamo il Teorema delle tre serie di Kolmogorov. La successione U_{n} converge q.c. se e solo se ∀k > 0 si ha:

(i) ∑_{n≥1} ℙ (| X_{n} |> k) < ∞ (ii) ∑_{n≥1} 𝔼 (X_{n}^{k}) è una serie convergente.

(iii) ∑_{n≥1} V ar (X_{n}^{k}) < ∞ con: X_{n}^{k}(ω) \begin{cases}X_{n}(ω) & se | X_{n}(ω) |≤ k \\ 0 & se | X_{n}(ω) |> k \end{cases}

Osserviamo che:

∀k ∈ (0, 1) ℙ (| X_{n} |> k) = 1

ne viene che la serie U_{n} non converge. Punto 3. Poiché le X_{n} non sono identicamente distribuite, possiamo dimostrare una Legge Forte dei Grandi Numeri controllando la varianza, in particolare:

𝔼(X_{k}) = 0  e  ∑_{k≥1} \frac{V ar (X_{k})}{k^{2}} < ∞

quindi:

\frac{1}{n}U_{n} ⟶^{n→∞} 0 q.c.

infatti:

V ar(X_{k}) = 𝔼 (X_{k}^{2}) = k^{2} \frac{1}{k^{2}} + (1 − \frac{1}{k^{2}} ) = 2 − \frac{1}{k^{2}} ⇒ ∑_{k≥1} \frac{V ar(X_{k})}{k^{2}} < ∞

Punto 4. Per il teorema di decomposizione di Doob:

X_{n} = X_{0} + M_{n} + A_{n}

con:

A_{n} ≡ ∑_{k=1}^{n} 𝔼 (X_{k} − X_{k−1} | F_{k−1})

da cui:

A_{n} = − ∑_{k=1}^{n} X_{k−1} = − ∑_{k′=0}^{n−1} X_{k′} = −U_{n−1}

e poiché X_{n} = U_{n} − U_{n−1} otteniamo: M_{n} = U_{n}. Esercizio 2 (domande)

Punto 1. La funzione f è semicontinua inferiormente (s.ct.i.) nel punto x, se e solo se per definizione sono soddisfatte le tre condizioni:

(i) per ogni successione {x_{n}} t.c. x_{n} ⟶^{n→∞} x si ha lim inf_{n→∞} f (x_{n}) ≥ f (x)

(ii) inf_{y∈B_{ϵ}(x)} f(y) ⟶^{ϵ→0} f(x)

(iii) l’intervallo f^{−1} ([−∞, c]) è chiuso ∀c ∈ ℝ ne viene che la prima funzione del testo non può essere semicontinua inferiormente poiché in un qualsiasi intorno dell’origine il lim inf della funzione è pari a −1 ≠ f(0) = 1. La seconda funzione data presenta anch’essa delle discontinuità di salto, in corrispondenza dei punti x = 0 e x = 1, tuttavia essa è monotona crescente (in questo caso è strettamente crescente) nell’intervallo [0, ∞), ne viene che si tratta di una funzione s.ct.i. La terza funzione, f(x) = x^{2} è una funzione continua (in effetti è analitica!) ed è quindi automaticamente s.ct.i. Punto 2. Si veda [dH] pag.5 - T h.1.4 Punto 3. Si veda [W] pagg. 137-138