SCRITTO di PS5 : 20-6-2001 E. Scoppola Soluzioni

Esercizio 1 Vedere la soluzione al primo esercizio relativo allo scritto di PS5 del 13/07/2001. Esercizio 2

Punto 1. Affinché M_{n} sia una martingala è necessario che 𝔼 (M_{n} | F_{n}) = M_{n−1}, innanzitutto vale:

𝔼 (X_{k}^{n}) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n} \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n + 1}{2}

quindi:

\begin{aligned}𝔼 (M_{n} | F_{n}) & = 𝔼 [(X_{1}^{n} + ⋯ + X_{Z_{n−1}}^{n}) \frac{2^{n}}{(n + 1)!} | Z_{n−1}] = \\ & = \frac{2^{n}}{(n + 1)!}Z_{n−1} \frac{n + 1}{2} = \frac{2^{n−1}}{n!} Z_{n−1} = M_{n−1} c.v.d \end{aligned}

Punto 2. Procedendo come al punto precedente otteniamo:

𝔼 (Z_{n}^{2} | F_{n}) = 𝔼 [(X_{1}^{n} + ⋯ + X_{Z_{n−1}}^{n})^{2} | Z_{n−1}] =
= Z_{n−1}𝔼 [(X_{k}^{n})^{2}] + Z_{n−1} (Z_{n−1} − 1) [𝔼 (X_{k}^{n})]^{2} =
= Z_{n−1}V ar (X_{k}^{n}) + [𝔼 (X_{k}^{2})]^{2} Z_{n−1}^{2}

non resta che calcolare V ar (X_{k}^{n}):

V ar (X_{k}^{n}) = 𝔼 [(X_{k}^{2})] − \frac{(n + 1)^{2}}{4} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} k^{2} − \frac{(n + 1)^{2}}{4} ≡ σ_{n}^{2}

e per σ_{n}^{2} si ha:

σ_{n}^{2} ≃ \frac{1}{3}n^{2} − \frac{1}{2}n + \frac{1}{6} + \frac{1}{n} − \frac{1}{4}(n + 1)^{2} ≃ \frac{1}{12}n^{2}

Punto 3. La martingala M_{n} è limitata in L^{2} ⇔ ∑_{n≥1} 𝔼 [(M_{n} − M_{n−1})^{2}] < ∞, ora:

M_{n} − M_{n−1} = \frac{2^{n}}{(n + 1)!} [Z_{n} − Z_{n−1} \frac{n + 1}{2}]

da cui:

(M_{n} − M_{n−1})^{2} = (\frac{2^{n}}{(n + 1)!})^{2} [Z_{n}^{2} + Z_{n−1}^{2} \frac{(n + 1)^{2}}{4} − Z_{n}Z_{n−1}(n + 1)]

poiché:

𝔼(Z_{n}) = 𝔼 [𝔼 (Z_{n} | F_{n−1})] = 𝔼 (Z_{n−1}) \frac{n + 1}{2} = \frac{(n + 1)!}{2^{n}}

abbiamo: 𝔼 [(M_{n} − M_{n−1})^{2}] = 𝔼 [𝔼 [(M_{n} − M_{n−1})^{2} | F_{n−1}]] =

= (\frac{2^{n}}{(n + 1)!})^{2} \{𝔼 [𝔼 (Z_{n}^{2} | F_{n−1})] + \frac{(n + 1)^{2}}{4} 𝔼 (Z_{n−1}^{2}) − (n + 1)𝔼 (Z_{n−1}^{2}) \frac{n + 1}{2}\} =

= (\frac{2^{n}}{(n + 1)!})^{2} \{𝔼 (Z_{n−1}) σ_{n}^{2} + \frac{(n + 1)^{2}}{4} 𝔼 (Z_{n−1}^{2}) 2 − \frac{(n + 1)^{2}}{2} 𝔼 (Z_{n−1}^{2})\} =

= (\frac{2^{n}}{(n + 1)!})^{2} \frac{(n + 1)!}{2^{n}}σ_{n}^{2} ∼ \frac{2^{n}n^{4}}{(n + 1)!}

ne viene che:

∑_{n≥1} 𝔼 [(M_{n} − M_{n−1})^{2}] < ∞

e quindi M_{n} è limitata in L^{2}. Esercizio 3

Punto 1. Chiaramente le due frequenze empiriche sono ν_{1} = \frac{2}{3} e ν_{2} = \frac{1}{3} rispettivamente, quindi:

I_{ρ} (ν) = ν_{1} log (2ν_{1})+ν_{2} log (2ν_{2}) = log 2+\frac{2}{3} log (\frac{2}{3})+\frac{1}{3} log (\frac{1}{3}) = log 2−log 3+\frac{2}{3} log 2 Punto 2. Per determinare la frequenza empirica di coppia, sfruttando i dati forniti dal testo, iniziamo con l’osservare che ν_{22} = 0, inoltre:

ν_{21} = ν_{12} = ν̄_{2}

ν̄_{1} = ν_{11} + ν_{12} = ν_{11} + ν̄_{2}

e poiché ν̄_{1} + ν̄_{2} = 1 abbiamo:

ν̄_{1} = 2ν̄_{2}

Ricordando che ν_{1} = \frac{2}{3} e ν_{2} = \frac{1}{3} otteniamo:

ν̄_{2} = \frac{1}{3} = ν_{12} = ν_{22}  e  ν_{11} = \frac{1}{3}

procedendo come al punto (1) otteniamo:

I_{ρ}^{2} = ν_{11} log (\frac{ν_{11}}{ν̄_{1}ρ_{1}} ) + ν_{12} log (\frac{ν_{12}}{ν̄_{1}ρ_{2}} ) + ν_{21} log (\frac{ν_{21}}{ν̄_{2}ρ_{1}} ) =

\frac{1}{3} log (\frac{3 · 2}{3 · 2}) + \frac{1}{3} log (\frac{3 · 2}{3 · 2}) + \frac{1}{3} log (\frac{2 · 3}{3}) = \frac{1}{3} log 2 > I_{ρ}(ν)

Domande Vedere la soluzione alle domande relative allo scritto di PS5 del 13/07/2001.