SCRITTO DI CP3 : 10-7-2002 E. Scoppola

Esercizio 1

Siano X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}, ... variabili casuali indipendenti con X_{n} distribuita con densità di probabilità

p_{n}(x) = \frac{C_{n}}{x^{2} ln |x|}1_{\{2<|x|≤2+n^{α}\}}  (1)

con α ∈ (0, 1).

1) Determinare se le variabili X_{n} sono in L^{1}, se la famiglia è limitata in L^{1} e se la famiglia è uniformemente integrabile.

2) Dimostrare che M_{n} := X_{1} + ... + X_{n} è una martingala.

3) M_{n} converge quasi sicuramente per n → ∞?

4) Vale la legge forte dei grandi numeri per le variabili X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}, ...?

Esercizio 2

Si consideri la particolare passeggiata aleatoria sulla retta che parte da 0 tale che ogni passo è dato da una variabile gaussiana indipendente di media 0 e varianza σ.

Calcolare, nel limite di grandi n, la probabilità di essere al tempo n fuori dall’intervallo [−nσ, nσ].

Domanda

Enunciare il teorema di Sanov per la misura empirica e darne lo schema di dimostrazione.