SCRITTO DI CP3 : 10-9-2002 E. Scoppola

Esercizio 1

Siano X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}, ... variabili casuali indipendenti con X_{n} distribuita con densità di probabilità

p_{n}(x) = \frac{C_{n}}{x^{2} ln |x|}1_{\{2<|x|≤2+n^{α}\}}  (1)

con α ∈ (0, 1).

1) Determinare se le variabili X_{n} sono in L^{1}, se la famiglia è limitata in L^{1} e se la famiglia è uniformemente integrabile.

2) Dimostrare che M_{n} := X_{1} + ... + X_{n} è una martingala.

3) M_{n} converge quasi sicuramente per n → ∞?

4) Vale la legge forte dei grandi numeri per le variabili X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}, ...?

Esercizio 2

Siano {X_{i}}_{i∈N} variabili indipendenti uniformemente e identicamente distribuite a valori 0, 1 e sia X_{1}, ..., X_{n} una sequenza con condizioni periodiche, X_{n+1} = X_{1}, tale che non compaiono mai nella sequenza due zeri consecutivi ed il numero di coppie 1, 0 nella sequenza è uguale al numero di coppie 1, 1.

1) Calcolare la misura empirica di coppia e la misura empirica.

2) Valutare asintoticamente la probabilità della realizzazione di una simile sequenza con il teorema di grandi deviazioni per la misura empirica e per la misura empirica di coppia.

3) Verificare che I_{ρ}(ν) < I_{ρ}^{2}(ν) e darne una spiegazione.