I ESONERO CP3: 8-4-2002 E. Scoppola

Esercizio 1 Sia X_{n} una famiglia di variabili indipendenti identicamente distribuite con

P (X = 1) = p P (X = −1) = q P (X = 0) = 1 − (p + q) (1)

con p + q < 1. Sia F_{n} = σ(X_{1}, ..., X_{n}), e fissiamo a, b ∈ N con 0 < a < b. Definiamo S_{n} := a + X_{1} + ... + X_{n}, e T := inf{n : S_{n} ∈ {0, b}}, il primo tempo di uscita dall’intervallo [0, b].

a) Dimostrare che esistono N e ϵ positivi tali che per ogni n

P (T ≤ n + N|F_{n}) > 0 q.s.  (2)

b) Nel caso p ≠ q:

1) Dimostrare che M_{n} := (\frac{q}{p})^{S_{n}} è una martingala .

2) Dimostrare che N_{n} := S_{n} − n(p − q) è una martingala .

3) Calcolare P (S_{T} = 0).

4) Calcolare E(T).

c) Nel caso p = q:

1) Dimostrare che S_{n} è una martingala.

2) Dimostrare che R_{n} := S_{n}^{2} − 2pn è una martingala.

3) Calcolare P (S_{T} = 0).

4) Calcolare E(T).

d) (facoltativo) Verificare che nel caso b), se (p − q) tende a zero, si trovano i risultati del caso c).

Esercizio 2 Siano Y_{n} variabili indipendenti a media nulla con

∑_{n} E \frac{Y_{n}^{2}}{1 + |Y_{n}|} < ∞  (3)

1) Dimostare che

∑_{n} E[Y_{n}^{2}1_{|Y_{n}|≤1} + |Y_{n}|1_{|Y_{n}|>1}] < ∞  (4)

2) Usando che EY_{n} = 0, dimostrare che EY_{n}^{1} = −E[Y_{n}1_{|Y_{n}|>1}], con Y_{n}^{1} variabili troncate a 1.

3) Dimostrare che ∑_{n} EY_{n}^{1} e ∑_{n} V ar(Y_{n}^{1}) convergono.

4) Usando la disuguaglianza di Chebyshev dimostrare che ∑_{n} P (|Y_{n}| > 1) < ∞

5) Dimostrare che ∑_{n} Y_{n} converge quasi sicuramente.