I Esonero PS5 - 24-4-01

Esercizio 1

Si consideri una successione di lanci di una moneta X_{1}, X_{2}, ..., con X_{i} ∈ \{t, c\} dove P (t) = P (c) = \frac{1}{2}. Sia T il primo tempo in cui appare la sequenza tct.

i) Verificare che T é uno stopping time rispetto a F_{n} = σ(X_{1}, ..., X_{n}). ii) Calcolare E(T). iii) (facoltativo) Calcolare E(T) nel caso in cui P (t) = p = 1 − P (c) ≠ \frac{1}{2}.

Esercizio 2

Dimostrare che se X é una supermartingala non negativa allora quasi sicuramente esiste lim_{n→∞} X_{n} ed é finito. (Usare il lemma di Doob sul numero di “upcrossing”).

Esercizio 3

Si consideri un random walk in due dimensioni (U_{n}, V_{n}) ∈ Z^{2} costruito nel modo seguente. Siano X_{i} e Y_{i} due sequenze di variabili indipendenti identicamente distribuite a valori ±1 con

P (X_{i} = 1) = P (X_{i} = −1) = P (Y_{i} = 1) = P (Y_{i} = −1) = \frac{1}{2}

e siano

U_{n} := ∑_{i=1}^{n} X_{i} V_{n} := ∑_{i=1}^{n} Y_{i}

con U_{0} = V_{0} = 0. Definiamo T il primo tempo di uscita del random walk dal cerchio di raggio r:

T := min\{n > 0 : \sqrt{U_{n}^{2} + V_{n}^{2}} > r\}

i) Verificare che T é uno stopping time. ii) Dimostrare che M_{n} := U_{n}^{2} + V_{n}^{2} − 2n, con n = 0, 1, 2, ... é una martingala. iii) Dimostrare che E(T) > \frac{r^{2}}{2}