Scritto PS5 - 13-7-01

Esercizio

Siano X_{k}, con k = 1, 2, ..., variabili casuali indipendenti con

P (X_{k} = k) = P (X_{k} = −k) = \frac{1}{2k^{2}}

P (X_{k} = 1) = P (X_{k} = −1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{k^{2}} ) se k > 1

e sia U_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k}.

1) Dimostrare che U_{n} é una martingala.

2) Utilizzando il teorema delle tre serie di Kolmogorov deteminare se U_{n} converge quasi sicuramente.

3) Dimostrare che \frac{1}{n}U_{n} → 0, per n → ∞, quasi sicuramente.

4) Sia {X_{k}} il processo ottenuto dalle variabili precedenti con X_{0} = 0. Determinare la sua decomposizione di Doob.

Domande

1) Determinare se le seguenti funzioni sono semicontinue inferiormente:

f(x) = \{ \begin{matrix}+1 per x ≤ 0 \\ −1 per x > 0 \end{matrix}

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} per x ≤ 0 \\ x^{2} + 1 per x ∈ (0, 1] \\ x^{2} + 2 per x > 1 \end{matrix}

f(x) = x^{2}

2) Enunciare il teorema di Cramer.

3) Utilizzando la disuguaglianza di Doob per submartingale, dimostrare la disuguaglianza di Kolmogorov.