Scritto PS5 - 20-6-01

Esercizio 1

Siano X_{k}, con k = 1, 2, ..., variabili casuali indipendenti con

P (X_{k} = k) = P (X_{k} = −k) = \frac{1}{2k^{2}}

P (X_{k} = 1) = P (X_{k} = −1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{k^{2}} ) se k > 1

e sia U_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k}.

1) Dimostrare che U_{n} é una martingala.

2) Utilizzando il teorema delle tre serie di Kolmogorov deteminare se U_{n} converge quasi sicuramente.

3) Dimostrare che \frac{1}{n}U_{n} → 0, per n → ∞, quasi sicuramente.

4) Sia {X_{k}} il processo ottenuto dalle variabili precedenti con X_{0} = 0. Determinare la sua decomposizione di Doob.

Esercizio 2

Sia Z_{n}, n ≥ 0, un processo di ramificazione con Z_{0} = 1 e

Z_{n} = X_{1}^{(n)} + .... + X_{Z_{n−1}}^{(n)}

con X_{k}^{(n)}, per k = 1, ..., Z_{n−1}, variabili indipendenti uniformemente distribuite in {1, 2, ..., n}.

1) Verificare che M_{n} := \frac{2^{n}}{(n+1)!}Z_{n} é una martingala.

2) Calcolare E(Z_{n}^{2}|F_{n−1}), con F_{n} = σ(Z_{1}, ..., Z_{n})

3) Determinare se la martingala M é limitata in L^{2}.

Esercizio 3

Siano X_{i} variabili indipendenti uniformemente distribuite su Γ = {1, 2}.

1) Determinare la misura empirica di una sequenza X_{1}, ..., X_{n} in cui il numero di 1 é il doppio del numero di 2 presenti nella sequenza e calcolarne la probabilitá nel limite di grandi n.

2) Determinare la misura empirica di coppia della stessa sequenza sapendo anche che non contiene coppie di 2 consecutivi e determinarne la probabilitá per grandi n.

Domande

1) Determinare se le seguenti funzioni sono semicontinue inferiormente:

f(x) = \{ \begin{matrix}+1 per x ≤ 0 \\ −1 per x > 0 \end{matrix}

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} per x ≤ 0 \\ x^{2} + 1 per x ∈ (0, 1] \\ x^{2} + 2 per x > 1 \end{matrix}

f(x) = x^{2}

2) Enunciare il teorema di Cramer.

3) Utilizzando la disuguaglianza di Doob per submartingale, dimostrare la disuguaglianza di Kolmogorov.