RW1: Rovina del giocatore

Consideriamo la sequenza {X_{i}}_{i≥1} di variabili aleatorie indipendenti ed identiamente distribuite aventi la seguente distribuzione di probablità:

\begin{cases}ℙ (X = +1) = p \\ ℙ (X = −1) = q \end{cases}

inoltre supponiamo che p ≠ q, p ∉ {0, 1} ed ovviamente deve essere p + q = 1, consideriamo quindi due interi a, b tali che: 0 < a < b e definiamo:

· S_{n} ≡ a + ∑_{i=1}^{n} X_{i}
· T ≡ inf {n : S_{n} = 0 oppure S_{n} = b}
· ℱ_{n} ≡ σ (X_{1} … X_{n})

Vogliamo:

(1) dimostrare che ∃N e ϵ > 0 tale che valga ℙ (T ≤ n + N | ℱ_{n}) > ϵ q.o. (∀n ∈ ℕ)

(2) dimostrare che M_{n} ≡ (\frac{q}{p})^{S_{n}} e N_{n} ≡ S_{n} − n(p − q) sono delle martingale

(3) calcolare ℙ (S_{T} = 0) e 𝔼 (T), usando il teorema di Doob.

Punto 1.

poniamo N = b allora:

ℙ (T ≤ n + N | ℱ_{n}) > ϵ q.o.

infatti:

{X_{i} = 1 ∀i = n, n + 1, …, n + N} ⇒ {T ≤ n + N}

cosicché, per la positività dell’aspettazione condizionata, ottengo:

ℙ (T ≤ n + N | ℱ_{n}) ≥ ℙ (X_{i} = 1 ∀i ∈ [n, n + N] | ℱ_{n}) = p^{N}

Punto 2. Avendo definito M_{n} ≡ (\frac{q}{p})^{S_{n}} abbiamo M_{n+1} = M_{n} (\frac{q}{p})^{X_{n+1}} cosicché:

𝔼 (M_{n+1} | ℱ_{n}) = M_{n}𝔼 ((\frac{q}{p})^{X_{n+1}}) = M_{n} (\frac{q}{p}p + (\frac{q}{p})^{−1} q) = M_{n}(q+p) = M_{n}

quindi M_{n} è effettivamente una martingala, come anche N_{n} infatti essendo: N_{n+1} = S_{n+1}−(n+1)(p−q) = S_{n}+X_{n+1}−n(p−q)−(p−q) = N_{n}+X_{n+1}−(p−q) allora:

𝔼 (N_{n+1} | ℱ_{n}) = N_{n} + p − q − (p − q) = N_{n}

Punto 3. Calcoliamo ℙ (S_{T} = 0) usando il teorema di Doob. Infatti M_{n} è una martingala, dal punto 2, T è uno stopping time con 𝔼 (T) < ∞ dal punto 1, e, effettuando i calcoli per la martingala arrestata, vale:

\begin{matrix}| M_{n}(ω) − M_{n−1}(ω) |= | (\frac{q}{p})^{S_{n−1}} ((\frac{q}{p})^{X_{n}} − 1)| ≤ \\ ≤ ((\frac{q}{p})^{b} ∨ 1) (1 + \frac{q}{p} + \frac{p}{q}) \end{matrix}

cosicché, essendo ℙ (S_{T} = b) = 1 − ℙ (S_{T} = 0), abbiamo:

\begin{matrix}𝔼 (M_{T}) = 𝔼 (M_{0}) = (\frac{q}{p})^{a} = ℙ (S_{T} = 0) + (\frac{q}{p})^{b} ℙ (S_{t} = b) = \\ = ℙ (S_{T} = 0) (1 − (\frac{q}{p})^{b}) + (\frac{q}{p})^{b} ⇒ ℙ (S_{T} = 0) = \frac{(\frac{q}{p})^{a} − (\frac{q}{p})^{b}}{1 − (\frac{q}{p})} \end{matrix}

Per calcolare 𝔼 (T) osserviamo anche N_{n} è una martingala, dal punto 2, e che:

|N_{n}(ω) − N_{n−1}(ω)| = X_{n} − (p − q) ≤ k ∀n, ω

abbiamo, applicando ancora il teorema di Doob:

𝔼 (N_{T}) = 𝔼 (N_{0}) = a

inoltre:

𝔼 (N_{T}) = 𝔼 (S_{T}) − 𝔼 (T) (p − q) = a = bℙ (S_{T} = b) − 𝔼 (T) (p − q)

quindi:

ℙ (S_{T} = b) = 1 − ℙ (S_{T} = 0) = 1 − \frac{(\frac{q}{p})^{a} − (\frac{q}{p})^{b}}{1 − (\frac{q}{p})}

ed infine:

𝔼 (T) = [(b\frac{1 − (\frac{q}{p})^{a}}{1 − (\frac{q}{p})^{b}} − a)] \frac{1}{p − q}