Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso - Ricevimento: mercoledi e venerdi 13:00-14:00 Ufficio: 108
Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it
Esercitatore: Dr. Valerio Talamanca - Ricevimento: lunedi 13-14 e giovedi 13-14 o per appuntamento - E-mail: valerio[nospam]@mat.uniroma3.it
Tutori: Luca Schaffler e Dario Spirito -
Testo: Lars V. Ahlfors: Complex Analysis
Esonero 1 : pdf Venerdi 5 Novembre, ore 11-13. Aula G. RISULTATI
Esonero 2 pdf : Giovedi 16 Dicembre, ore 9-11. Aula B3. RISULTATI
Scritto A pdf : Venerdi 15 Gennaio, ore 11-13. Aula B3. RISULTATI - Orale A: Martedi 25 gennaio, ore 11-14. Studio 108.
Scritto B pdf : Giovedi 17 Febbraio, ore 11-13. RISULTATI - Orale B: Mercoledi 23 Febbraio, ore 11. Studio 108.
Orale per i soli studenti che hanno passato lo Scritto A: Giovedi 17 Febbraio, ore 16. Studio 108.
Scritto C pdf : Giovedi 14 Giugno, ore 11-13. RISULTATI - Visione Scritto e Orale C: Mercoledi 22 Giugno, ore 11. Studio 108.
Scritto X : Venerdi 15 Settembre, ore 11-13. RISULTATI - Visione Scritto e Orale X: Venerdi 23 Settembre, ore 16. Studio 108.
DIARIO DELLE LEZIONI: - Orario delle lezioni: mercoledi e venerdi 11-13, aula 009.
Lezioni 1 e 2 - 22/9: Il campo dei numeri complessi: aspetti algebrici; calcolo delle radici quadrate. Coniugio. Valore assoluto. Diseguaglianza triangolare. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Distanza tra numeri complessi. Funzioni complesse di variabile complessa. Limite di una funzione di variabile complessa in un punto e proprietà elementari.
Lezioni 3 e 4 - 24/9: Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Regole di derivazione per funzioni olomorfe e proprietà elementari. Esempi. Caratterizzazione di funzioni olomorfe tramite le equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche.
Lezioni 5 e 6 - 29/9: Funzioni armoniche coniugate. Gli operatori ∂z e ∂ z¯ . Equazioni cartesiane di rette e semipiani. Zeri di polinomi; Teorema di Lucas. Serie numeriche: convergenza, criterio di Cauchy; convergenza assoluta. Serie armonica e serie armonica a segni alterni.
Lezioni 7 e 8 - 1/10: Successioni di funzioni. Convergenza uniforme; continuità del limite di una successione uniformemente convergente di funzioni continue. Serie geometrica. Serie di potenze. Teorema di Abel e formula di Cauchy-Hadamard per il raggio di convergenza. Derivabilità di una serie di potenze e studio della sua serie derivata. Formula di Taylor per coefficienti di una serie di potenze.
Lezioni 9 e 10 - 6/10: Funzione esponenziale. Funzioni trigonometriche. Periodo della funzione esponenziale. Il logaritmo complesso e suoi rami. Funzioni multivoche. Funzioni inverse di funzioni olomorfe e calcolo della loro derivata. Caratterizzazioni di funzioni olomorfe costanti.
Lezioni 11 e 12 - 8/10: Funzioni olomorfe come applicazioni geometriche (mappe). Jacobiano ed esistenza della funzione inversa; omeomorfismi locali. Archi e angoli nel piano. Mappe conformi. Una funzione differenziabile determina una mappa conforme se e solo se è olomorfa e ha differenziale non nullo. Gruppo delle trasformazioni lineari fratte (GTLF); GTLF è generato dall'inversione insieme a tutte le traslazioni e le omotetie. L'unica TLF che fissa tre punti distinti è l'identita.
Lezioni 13 e 14 - 15/10: La sfera di Riemann. Birapporto (Cross ratio) di quaterne di punti sulla sfera di Riemann. Invarianza del birapporto rispetto a TLF. Le TLF mandano cerchi (circonferenze e rette) in cerchi. Valori reali del birapporto. Il teorema della mappa di Riemann (solo enunciato). Esempi.
Lezioni 15 e 16 - 20/10: Integrale di una funzione complessa su una curva; indipendenza dalla parametrizzazione. Linearità e diseguaglianza del modulo. Forme differenziali di due variabili e loro integrali lungo curve chiuse. Differenziali esatti. Caratterizzazione di integrali che dipendono solo dagli estremi della curva di integrazione. Esempi.
Lezioni 17 e 18 - 22/10: Condizioni di anullamento di integrali lungo curve chiuse. Integrale della derivata di una funzione analitica. Esempi. Fogli della funzione logaritmo e superficie di Riemann associata figura.jpg. Teorema di Goursat (teorema di Cauchy per rettangoli). Generalizzazioni al caso di funzioni con punti singolari.
Lezioni 19 e 20 - 27/10: Teorema di Cauchy su dischi con generalizzazione al caso di funzioni con punti singolari. Indice (numero di avvitamento) di una curva chiusa rispetto ad un punto e sue proprietà . Formula integrale. Esempi.
Lezioni 21 e 22 - 29/10: Derivabilità di funzioni olomorfe, formula integrale per le derivate. Teorema di Morera, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra.
Lezioni 23 e 24 - 10/11: Singolarità eliminabili. Teorema di Taylor. Una funzione olomorfa è identicamente nulla se (e solo se) esiste un punto in cui il suo valore e quello di tutte le sue derivate è nullo. Ordine di un zero. L'insieme degli zeri di una funzione olomorfa (non nulla) è discreto; principio di idenitità per le funzioni olomorfe. Poli di una funzione olomorfa e loro ordine.
Lezioni 25 e 26 - 12/11: Caratterizzazione delle singolarità: poli e singolarità essenziali. Teorema di Casorati -Weierstrass. Numero degli zeri di una funzione olomorfa in un disco.
Lezione 27 - 12/11: Correzione esonero.
Lezioni 28 e 29 - 17/11: Geometria locale delle mappe olomorfe: una mappa olomorfa è aperta. Principio del massimo. Lemma di Schwarz (Esercitazione 8). Gruppi delle catene e dei cicli di una regione del piano complesso. Curve e cicli omologhi a zero in una regione. Regioni semplicemente connesse. Esempi. Enunciato generale del teorema di Cauchy.
Lezioni 30 e 31 - 19/11: Relazione di omologia per cicli e sua compatibilità con la struttura di gruppo. Teorema di caratterizzazione di regioni semplicemente connesse. Esempi. Dimostrazione della forma generale del teorema di Cauchy. Conseguenze del teorema di Cauchy: esistenza della primitiva in regioni semplicemente connesse, analiticità delle determinazioni del logaritmo in regioni semplicemente connesse.
Lezioni 32 e 33 - 24/11: Connettività di regioni del piano e basi di omologia. Periodi per funzioni con singolarità isolate. Teorema dei residui; esempi.
Lezioni 34 e 35 - 26/11: Principio dell'argomento. Teorema di Rouché . Teorema di Weierstass sulle successioni convergenti di funzioni olomorfe. Sviluppo in serie di Taylor di funzioni olomorfe. Teorema di Hurwitz.
Lezioni 36 e 37 - 1/12: Esempi di sviluppo in serie di Taylor. Serie di Laurent. Esistenza e unicità dello sviluppo in serie di Laurent. Esempi. Definizione di prodotto infinito di numeri complessi, collegamento con la serie dei logaritmi e criterio di convergenza attraverso la serie dei logaritmi.
Lezioni 38 e 39 - 3/12: Criteri di convergenza per prodotti infiniti. Espressione in prodotto canonico di funzioni olomorfe: espressione canonica della funzione sin π z. Teorema di Weierstrass. Ogni funzione meromorfa è il quoziente di due funzioni intere.
Lezioni 40 e 41 - 10/12: La funzione Gamma di Eulero. Rappresentazione in prodotto canonico. Equazioni funzionali della funzione Gamma. Relazione con il prodotto fattoriale di numeri interi. Derivata logaritmica. Formula di duplicazione di Legendre.
Lezioni 42 e 43 - 15/12: Costante di Eulero-Mascheroni. Calcolo dei residui della funzione Gamma. Rappresentazione della funzione Gamma come integrale di Eulero. Decomposizione di Mittag-Leffler per la funzione Gamma. Funzione zeta di Riemann. Relazione con la funzione Gamma. Rapresentazione della funzione zeta come Prodotto di Eulero.
Lezioni 44 e 45 - 17/12: Prolungamento analitico della funzione zeta di Riemann a tutto il piano complesso. La zeta di Riemann ha un unica singolarità: un polo semplice in z=1 con residuo uguale a 1. Numeri di Bernouilli e zeri banali della zeta di Riemann.
Lezioni 46 e 47 - 22/12: Equazione funzionale della zeta di Riemann. Gli zeri banali della funzione zeta e l'ipotesi di Riemann.
Lezione 48 - 22/12: Correzione esonero.
TUTORATI: Orario tutorato: mercoledi 16-18 aula G.
