AC310: Analisi Complessa

A.A. 2026-2027


Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso - mail: lucia.caporaso[nospam]@uniroma3.it

Ricevimento studenti: venerdì 15:00- 17:00 previo appuntamento.

Aula e orario lezioni e esercitazioni: Mercoledì 11-13 - Aula C06, Giovedì 16:00-18:00 - Aula C06, Venerdì 16:00-18:00 - Aula M3.

Programma in breve:

  • Numeri complessi e funzioni olomorfe.
  • Applicazioni conformi.
  • Serie di potenze, esponenziale complesso, funzioni analitiche.
  • Teorema di Cauchy e applicazioni.
  • Calcolo dei residui.
  • Funzioni armoniche.
  • Continuazione analitica.
  • Teorema della mappa di Riemann.

    Testi di riferimento:

    [L] Complex Analysis. - Serge Lang - Springer GTM Vol. 103.
    [A] Complex Analysis. - Lars V. Ahlfors - McGraw-Hill Book Company.
    (Soluzioni degli esercizi del testo di Lang) Problems and Solutions for Complex Analysis. - Rami Shakarchi - Springer.

    Modalità d'esame: Esame scritto e esame orale. Ci saranno due esoneri.

    Diario delle lezioni:

  • 23/09. L'insieme dei numeri complessi come spazio vettoriale sui reali, come campo, e come estensione quadratica del campo dei numeri reali. Parte reale, parte immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso. Interpretazione geometrica dei numeri complessi come punti del piano cartesiano, e della somma di numeri complessi. Disuguaglianza triangolare. Calcolo esplicito delle radici quadrate di un numero complesso.
  • 24/09. Rappresentazione polare dei numeri complessi. Esponenziale di numeri immaginari. Formula di de Moivre. Calcolo delle radici n-esime. Interpretazione geometrica del prodotto di numeri complessi. Funzioni complesse. Limiti per funzioni complesse.
  • 25/09. Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe. Proprietà delle funzioni olomorfe.
    Esercizi consigliati: dal testo [L]:I.1.1, I.1.2, I.1.10, I.2.1, I.2.2, I.2.7, I.2.8.
  • 30/09. Rette e semipiani. Teorema di Lucas. Equazioni di Cauchy Riemann per funzioni olomorfe. Richiami sulla connessione e la connessione per archi di spazi topologici.
  • 01/10. Equazioni di Cauchy Riemann come condizioni sufficienti per le funzioni olomorfe. Connessione e connessione per archi: regioni nel piano complesso. Funzioni olomorfe costanti su regioni del piano.
  • 02/10. Curve, curve lisce e angoli. Conformità delle funzioni olomorfe. Successioni e serie di numeri complessi. Convergenza, convergenza assoluta, criteri di Cauchy. Successioni e serie di funzioni, test di convergenza di Weierstrass.
    Esercizi consigliati. Da [L]: I.4.3, I.4.4. Da [A]: es. 1 pag 17 (cap. 1, sez. 2.3); es. 1, 2 pag. 37 ( cap. 2, sez. 2.3).
  • 07/10. Richiami sul limite superiore per successioni reali. Raggio di convergenza per serie di potenze. Formula di Cauchy-Hadamard. Esempi.
  • 08/10. Calcolo delle derivate di una serie di potenze. Criterio del rapporto per le serie di potenze. Esercizi.
  • 09/10. Serie binomiale. Funzione esponenziale come serie di potenze. Seno e coseno come funzioni complesse. Esercizi.
    Esercizi consigliati. Da [L]: II.2.4, II.2.5, II.2.7. Da [A]: es. 8 p.41 ( cap. 2, sez. 2.4).
  • 14/10. Il logaritmo complesso. Funzioni analitiche. Le funzioni razionali sono analitiche. Enunciato e discussione del teorema della funzione inversa per funzioni analitiche.
  • 15/10. Dimostrazione del teorema della funzione inversa per funzioni analitiche. Logaritmo principale. Teorema della funzione aperta con dimostrazione.
    Esercizi consigliati. Da [L]: II.3.4, II.5.1, II.5.3, II.6.2, II.6.3.
  • 21/10. Gli zeri di funzioni una funzione analitica. Principio di identità per funzioni analitiche. Richiami sulla compattezza. Esercizi.
  • 22/10.
  • 23/10.

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