AM6 - ANALISI FUNZIONALE ESERCIZI (da risolvere entro Venerdi 1 Marzo)

1.

Caratterizzare le coppie (a_{1}, ...., a_{n}), (b_{1}, ...., b_{n}) di punti in ℝ^{n} per le quali nella diseguaglianza di Cauchy-Bunjakovski-Schwarz vale l’uguale.

2.

Dare un esempio di spazio metrico nel quale esistono due sfere B(x, r) ⊂ B(y, r′) tali che r > r′ > 0.

3.

Sia R = (X, ρ) uno spazio metrico. Dimostrare che la funzione “distanza”

ρ : X × X ⟶ ℝ

è continua rispetto alla topologia prodotto su X × X.

4.

Dimostrare la seguente versione del teorema di Baire: Se R è uno spazio metrico completo, l’intersezione di una collezione numerabile di aperti densi è densa in R

5.

Sia G : R ⟶ R una contrazione di uno spazio metrico R, ovvero, esiste un numero reale positivo α < 1 tale che ∀x, y ∈ R abbiamo

αρ(x, y) ≥ ρ(G(x), G(y)).

Vero o falso: G è continua. (Giustificare la risposta)

6. Vero o Falso: uno spazio topologico numerabile soddisfa il primo assioma di numerabilità.

(Giustificare la risposta)

7. Su ℝ si consideri la topologia “pre-Zariski” per la quale gli aperti sono i complementari dei sottoinsiemi al piú numerabili, e l’insieme vuoto. Si dimostri che è una topologia.

Giustificare le risposte alle domande seguenti:

Vero o falso: Ogni sottoinsieme aperto, non vuoto è denso.

Vero o falso: Vale il Primo (o il Secondo) assioma di numerabilità.

Vero o falso: è uno spazio di Hausdorff.

Vero o falso: è uno spazio topologico metrizzabile.

Ripetere l’esercizio con la topologia “di Zariski” su ℝ, per la quale gli aperti sono i complementari dei sottoinsiemi finiti, e l’insieme vuoto.