AM6 - ANALISI FUNZIONALE ESERCIZI 2 (da risolvere entro Lunedi 18 Marzo)

1.

Siano X e Y spazi topologici e f : X ⟶ Y un’ applicazione. Sotto quali eventuali ipotesi aggiuntive (il più possibile generali) valgono i due enunciati (a) e (b)? Dimostrare in entrambi i casi.

(a) Se f è continua, allora f è sequenzialmente continua

(b) Se f è sequenzialmente continua, allora f è continua

2.

Sia V uno spazio vettoriale. Costruire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme V^{∗} − {0}, dei funzionali lineari non nulli di V, e l’insieme degli iperpiani in V che non passano per l’origine.

3.

Sia V uno spazio vettoriale su ℝ e p : V ⟶ ℝ un funzionale omogeneo, convesso e non negativo. Sia M > 0 e sia

B_{M} := {x ∈ V : p(x) ≤ M}

Dimostrare che B_{M} è un corpo convesso per ogni M, e determinarne il nucleo.

4.

Sia V uno spazio vettoriale su ℝ, e W un suo sottospazio vettoriale proprio.

Vero o falso:

(a) W è convesso

(b) W è un corpo convesso (Giustificare le risposte)

5.

Sia V uno spazio normato reale. Si dimostri che un sottospazio vettoriale W di V, di dimensione finita è chiuso.

È vero lo stesso enunciato per uno spazio vettoriale complesso? Giustificare la risposta.

6.

Sia V uno spazio di Banach di dimensione infinita. Si dimostri che una base di V ha cardinalità più che numerabile. (suggerimento: si può usare il teorema di Baire)