AM6 - ANALISI FUNZIONALE ESERCIZI 3 (da risolvere entro Lunedi 15 Aprile)

1. Siano X e Y spazi topologici e f : X ⟶ Y un’ applicazione. Sotto quali eventuali ipotesi aggiuntive (il più possibile generali) vale il seguente enunciato?

Se f è sequenzialmente continua, allora f è continua

2. Sia V uno spazio vettoriale topologico. Si dimostrino le affermazioni seguenti.

• (a) Per ogni v ∈ V l’applicazione di traslazione t_{v} : V ⟶ V definita da t_{v}(v′) = v + v′, ∀v′ ∈ V, è un omeomorfismo.

• (b) V è di Hausdorff.

• (c) Se S ⊂ V allora

\overline{S} = ∩_{U}(S + U)

dove U varia tra tutti gli intorni (aperti) di 0.

• (d) Se S_{1} e S_{2} sono sottoinsiemi di V, allora

\overline{S}_{1} + \overline{S}_{1} ⊂ \overline{S_{1} + S_{2}}

• (e) Se W < V allora anche \overline{W} è un sottopazio di V.

3. Sia V uno spazio vettoriale e f : V ⟶ K un funzionale lineare non nullo (dove, come sempre, K = ℝ o K = ℂ).

(a) Si dimostri che esiste una base B per V tale che ∀v ∈ B si ha f(v) ≠ 0.

Dunque, per ogni w ∈ V si ha, in modo unico, w = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} dove v_{i} ∈ B e α_{i} ∈ K.

(b) Si definisca su V una funzione p_{f} : V ⟶ ℝ come segue:

p_{f}(w) := ∑_{i=1}^{n} |α_{i}| · |f(v_{i})|

Si dimostri che p_{f} è una norma su V

4. Sia V uno spazio vettoriale.

(a) Si dimostri che due norme su V sono equivalenti se e soltanto se inducono su V la stessa topologia.

(b) Si consideri la seguente definizione: Due metriche su V si dicono equivalenti se inducono su V la stessa topologia.

Si diano esempi di spazi vettoriali (di dimensione finita e infinta) aventi metriche non equivalenti. Ci si assicuri che gli esempi dati non siano in contraddizione con il fatto che, su uno spazio vettoriale di dimensione finita, due norme sono sempre equivalenti.

5. Sia V uno spazio vettoriale normato di dimensione infinita. Si costruisca su V una seconda norma non equivalente alla norma data.