AM6 - ANALISI FUNZIONALE

ESERCIZI 4 (da risolvere entro Lunedi 29 Aprile)

1. Sia V uno spazio vettoriale su K, dotato di prodotto scalare.

(a) Sia I un insieme di vettori di V ortogonali tra loro (ovvero (v, v′) = 0 per ogni coppia v e v′ in I). Si dimostri che i vettori di I sono linearmente indipendenti (qualsiasi sia la cardinalità di I).

(b) Sia W < V un sottospazio vettoriale di dimensione n. Si dimostri che la codimensione in V del suo complemento ortogonale W^{⊥} è uguale a n.

(c) Sia f : V ⟶ K un funzionale lineare continuo. Si dimostri che dim(Kerf)^{⊥} = 1

2. (a) Si enunci e dimostri il Teorema di Riesz-Fischer per spazi vettoriali complessi, dotati di prodotto scalare.

(b) Si dimostri che due spazi di Hilbert su ℂ, separabili (e di dimensione infinita) sono isomorfi.

3. Si dimostri che uno spazio di Hilbert è separabile se e soltanto se contiene un sistema ortonormale completo al più numerabile. Vale l’enunciato più generale, in cui si sostituisce “spazio di Hilbert” con “spazio vettoriale (reale o complesso) con prodotto scalare”?

4. Sia V uno spazio vettoriale topologico.

(a) Si dimostri che un funzionale lineare su V è continuo se e soltanto se il suo nucleo è chiuso.

(b) Si dia un esempio di funzionale lineare non continuo su uno spazio normato.