GE220: Geometria 3

A.A. 2014-2015

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Docente: LUCIA CAPORASO - Ricevimento: lunedi e mercoledi 13-14 Previo appuntamento - Ufficio numero 108 - Edificio C in Largo San Leonardo Murialdo 1.

Tel: 06 5488 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Lezioni: Lunedi e Mercoledi 11-13 aula G.

Esercitatore: dott. Carmelo Finocchiaro - Esercitazioni: Giovedi 9-11.

Tutori: Federico Campanini e Alessandro Galoppini - Tutorato: martedi 9-11

Diario delle esercitazioni e dei tutorati

Breve programma di massima:

  • Spazi topologici e loro proprietà . Equivalenza omotopica e Gruppo fondamentale di spazi topologici.

    Bibliografia consigliata:

  • Edoardo Sernesi Geometria 2 Bollati Boringhieri (2001)
  • James R. Munkres Topology Prentice Hall.

    Esonero: Lunedi 30 Marzo, ore 10-13, aule F e G. Testo esonero con soluzioni - Risultati Esonero

    ESAMI

  • Scritto Appello A: 26 Giugno, ore 14-17, aula G. Testo esame con soluzioni - Risultati Scritto A

    Orale Appello A: 30 Giugno, ore 11 presso lo studio 125 di Via della Vasca Navale 84.

  • Appello B: 6 Luglio, ore 14-17, aula G. Testo esame con soluzioni - Risultati Scritto B

    Orale Appello B: 9 Luglio, ore 11-13 presso lo studio 125 di Via della Vasca Navale 84.

  • Appello X: 3 Settembre, ore 14-17, aula G. Testo esame con soluzioni - Voti dello scritto X per i soli studenti ammessi all'orale

    Orale Appello X: 4 Settembre, ore 14 presso lo studio 125 di Via della Vasca Navale 84.

  • Appello C: 21 gennaio, ore 14-17, aula C. Testo esame con soluzioni - Voti dello scritto C

    Orale Appello C: Giovedi 28 gennaio 0re 14:00, studio 108 di Largo San Leonardo Murialdo.

    Diario settimanale delle lezioni:

    Settimana 1

  • Spazi topologici. Esempi: topologia banale, discreta, cofinita, topologia euclidea sulla retta reale e sul piano reale, retta di Sorgenfrey.
  • Confronto di topologie su uno stesso insieme.
  • Base per una topologia. Caratterizzazione di basi. Esempi: basi per la topologia euclidea sul piano reale, basi per la topolgia cofinita.
  • Topologia indotta su sottinsiemi di uno spazio topologico; basi indotte.
  • Sottinsiemi chiusi (definizione ed esempi semplici).

    Settimana 2

  • Caratterizzazione della famiglia dei chiusi di uno spazio topologico.
  • Interno, chiusura e frontiera di un sottoinsieme di uno spazio topologico.
  • Punti limite e loro proprietà. Esempi: punti limite in topologia eulcidea e cofinita, punti limite di spazi discreti.

    Settimana 3

  • Funzioni continue: definizione, caratterizzazioni, esempi.
  • Funzioni continue in un punto. Collegamento con la definizione analitica.
  • Funzioni aperte e funzioni chiuse: definizione ed esempi.
  • Omeomorfismi. L'omeomorfismo come relazione di equivalenza tra spazi topologici. Intervalli omeomorfi della retta reale.
  • Incollamento di funzioni continue rispetto a ricoprimenti in chiusi e in aperti.

    Settimana 4

  • Prodotto di due spazi topologici. Caratterizzazioni della topologia prodotto. Esempi.
  • Proiezioni e caratterizzazioni delle funzioni continue nel prodotto.
  • Spazi di Hausdorff e spazi T1. Prodotto di spazi di Hausdorff.
  • La diagonale in XxX è chiusa se e solo se X è Hausdorff. Grafico di una funzione continua.
  • Successioni, limiti di successioni. Successioni convergenti in spazi di Hausdorff (unicità del limite).

    Settimana 5

  • Immagine di successioni convergenti tramite funzioni continue.
  • Prodotto di famiglie infinite di spazi topologici. Confronto tra la topologia prodotto e la topologia box.
  • Spazi metrici e loro topologia. Gli spazi metrici ammettono basi locali numerabili. Gli spazi metrici sono di Hausdorff. Successioni negli spazi metrici.

    Settimana 6

  • Continuità per successioni in spazi metrici.
  • Gli spazi metrici sono normali.
  • Spazi metrizzabili. Esempi di spazi non metrizzabili: il prodotto numerabile di copie della retta reale euclidea, dotato della topologia box, non è metrizzabile.
  • Il prodotto di due spazi metrici (dotato della topologia prodotto) è metrizzabile.
  • Esempio: il prodotto di una famiglia non numerabile di copie della retta reale non è metrizzabile.
  • Spazi metrici limitati. Metrica limitata indotta da una metrica qualsiasi.
  • Spazi N2; uno spazio metrico che ammette un sottinsieme denso numerabile è N2. Esempi.

    Settimana 7

  • Definizione e caratterizzazioni di spazi topologici connessi.
  • Unioni di famiglie di insiemi connessi. Proprietà della connessione; l'immagine di un connesso tramite un'applicazione continua è connesso.
  • I sottinsiemi connessi della retta reale con la topologia euclidea sono gli intervalli.
  • Il prodotto di una famiglia qualsiasi di spazi connessi è connesso.
  • Componenti connesse e loro proprietà.
  • Spazi connessi per archi e loro proprietà Componenti connesse per archi.

    Settimana 8

  • Spazi compatti: definizione ed esempi. Gli intervalli chiusi e limitati della retta reale sono compatti.
  • L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatto. Il prodotto di due spazi compatti è compatto.
  • Relazione tra compattezza e chiusura in spazi di Hausdorff. Teorema di Heine Borel.
  • Compattificazione di Alexandroff di spazi arbitrari, e sue proprieà . Studio della compattificazione di Alexandroff della retta euclidea (è omeomorfa ad un cerchio nel piano euclideo).

    Settimana 9

  • Teorema di Tychonoff. Dimostrazione e discussione.
  • Compattezza in spazi metrici. Uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni. Numero di Lebesgue per ricoprimenti di spazi metrici.
  • Successioni di Cauchy. Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.

    Settimana 10

  • Omotopia di applicazioni continue. Esempi: applicazioni omotope in spazi euclidei, applicazioni omotope in spazi discreti.
  • Spazi topologici omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili. Gli spazi eulidei sono contraibili. Uno spazio contraibile è connesso per archi.
  • Archi omotopicamente equivalenti. Prodotto di archi. Equivalenza di cappi.
  • Gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Indipendenza dal punto base per punti connessi da un arco.
  • Proprietà funtoriali

    Settimana 11

  • Teorema: Spazi topologici omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi.
  • Gruppo fondamentale del prodotto di spazi topologici.
  • Teorema: Il gruppo fondamentale del cerchio è isomorfo al gruppo degli interi.

    Settimana 12

  • Teorema di Van Kampen debole. Gruppo fondamentale di sfere.
  • Rivestimenti, e grado di un rivestimento.
  • Rivestimenti: sollevamento di archi e di omotopie.
  • Monodromia. Identificazione tra la fibra di rivestimento e il gruppo fondamentale della base.