Geometria Algebrica 1 - GE410

A.A. 2019-2020

Docenti : LUCIA CAPORASO (dal 15/10 in poi) - ALESSANDRO VERRA (24/9 - 9/10)

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Verra Ufficio: 106. Tel: 06 5733 8219. Ricevimento: martedi 10-12 e su appuntamento per altri orari. E-mail: verra[nospam]@mat.uniroma3.it

Caporaso Ufficio: 108. Tel: 06 5733 8040. Ricevimento: martedi 16-17 e su appuntamento per altri orari. E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Prerequisiti del corso: Topologia generale. Algebra di base.

Programma in breve:

  • Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
  • Geometria locale, normalizzazione.
  • Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

    Testi consigliati: (1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. (2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. (3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

    Orario Lezioni e Esercitazioni: Martedi e venerdi 14-16 Aula 009 - Mercoledi 11-13 Aula 211. Prima lezione: 24 settembre

    Diario giornaliero delle lezioni:

    24/9 : Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert; cenni sul teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz). Introduzione alla topologia di Zariski.

    27/9 :: Topologia di Zariski sulla retta affine. Quasicompattezza e altre proprietà generali della topologia di Zariski.

    1/10 : Topologia di Zariski di chiusi affine. Ipersuperfici.

    2/10 : Curve piane e risultante di due polinomi.

    8/10 : Cenni sul teorema di Bézout per curve piane. Esempi di curve piane affini e della loro chiusura proiettiva. Coniche e cubiche.

    9/10 : Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili. Dimostrazione della forma debole del teorema degli zeri di Hilbert.

    15/10 : Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert. Algebre e algebre ridotte. Algebre associate a chiusi affini. Esempi espliciti.

    16/10 : Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.

    22/10 : Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali. Prodotti e proiezioni. Le proiezioni sono aperte.

    23/10 : Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi. Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale come spazio degli iperpiani.

    29/10 : Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali dalla retta proiettiva a spazi proiettivi. Esempi. Esercizi: Testo (3): 3.2.7, 3.3.2, 3.3.3, 3.6.8, 3.6.9.

    5/11 : Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini. Campo delle funzioni razionali di una varietà quasiproiettiva irriducibile.

    9/11 : Dimensione di varietà. Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione. Esempi du varietà birazionali ma non isomorfe. Esercizi: Testo (3): 3.7.6, 3.10.11. 3.10.12

    12/11 : Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi. Curve razionali normali. Indipendenza lineare di insiemi di punti su curve razionali normali. Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese. Corrispondenza tra ipersuperfici e sezioni iperpiane di varietà di Veronese.

    15/11 : Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi. Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Riduzione di proiezioni a proiezioni da punti. Esercizi: Testo (3): 4.2.4, 4.4.6, 4.4.7

    20/11

    22/11

    Esercitazioni:

    25/10: Sottospazi lineari. Traslazioni di chiusi. Sottinsiemi finiti. Limitazione superiore della dimensione di chiusi.

    6/11: Esempi di varietà quasi proiettive affini e non affini. Lo spazio di iperpiani per un punto come iperpiano nello spazio proiettivo duale. Spazi di curve piane di grado fissato passanti per un insieme di punti fissato.