Docente: LUCIA CAPORASO - Ufficio: 108
Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it - Ricevimento: lunedi e mercoledi 13-14.
Prerequisiti del corso: Topologia generale. Algebra di base (Anelli, campi, anelli Noetheriani con particolare riguardo ad anelli di polinomi).
Programma in breve:
Testi consigliati:
Orario: Lunedi e Mercoledi 14-16 Aula 9. Prima lezione: 28 Febbraio
Seminari degli studenti: Dario Spirito, Luca Shaffler, Cristian Minoccheri: Venerdi 24/6, 0re 10-14, Aula 9.
Diario giornaliero delle lezioni ed Esercizi assegnati: I numeri degli esercizi si riferiscono alle note del corso consegnate durante le lezioni.
28/2: Topologia di Zariski e spazi affini. Esempi e proprietà semplici. Teorema di corrispondenza tra chiusi e ideali radicali.
2/3: Teorema degli zeri di Hilbert e sue conseguenze. Insiemi irriducibli. Corrispondenza tra ideali primi e chiusi irriducibili Decomposizione in componenti irriducibili. Esercizi: 2.1.13, 2.1.14, 2.1.15, 2.3.7, 2.3.9.
7/3: Morfismi tra chiusi affini. Isomorfsmi. Corrispondenza con gli omomorfismi di algebra. Equivalenza tra la categoria delle algebre finitamente generate e ridotte e la categoria dei chiusi affini. Morfismi dominanti e loro caratterizzazione. Esempi.
9/3: Prodotti, proiezioni. Aperti principali. Spazi proiettivi. Esercizi: 2.4.12, 2.4.13, 2.4.16, 2.4.17, 2.5.8.
14/3: Topologia di Zariski su spazi proiettivi. Teorema di corrispondenza nel caso proiettivo. Spazi affini in spazi proiettivi; chiusura proiettiva. Ipersuperfici. Lo spazio degli iperpiani in uno spazio proiettivo (spazio proiettivo duale). Classificazione proiettiva delle ipersuperfici quadriche.
16/3: Varietà quasiproiettive. Funzioni ed applicazioni razionali e regolari. Varietà affini. Esercizi: 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4.
21/3: Applicazioni razionali e regolari tra varietà quasiproiettive. Ogni varietà quasiproiettiva è ammette un ricoprimento finito in aperti che sono varietà affini. Dimensione.
24/3: Morfismi finiti e genericamente finiti; proprietà geometriche ed esempi.. Equivalenza birazionale. Esercizi: 3.1.8, 3.1.9, 3.6.8, 3.6.9. 3.10.7
28/3: Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Varietà razionali. Morfismo e varietà di Segre; topologia di Zariski sul prodotto di spazi proiettivi. Prodotto di varietà quasiproiettive.
30/3: Ogni varietà è birazionale ad una ipersuperficie. Curve razionali normali e varietà di Veronese Esercizi: 3.10.9, 4.3.4, 4.4.11, 4.4.12, 4.4.13
5/4: Proiezioni. L'immagine di una varietà proiettiva tramite un'applicazione regolare è chiusa.
7/4: Funzioni regolari di varietà proiettive. Intersezioni in spazi proiettivi. Intersezioni complete. Esercizi: 4.5.5, 4.5.6, 4.6.8, 4.6.9
11/4: Scoppiamento del piano in un punto. Semicontinuità della dimensione delle fibre. Anello locale di una varietà in un punto.
13/4: Spazio cotangente e spazio tangente di Zariski di una varietà in un punto. Punti singolari. Ipersuperfici. Esempi. Esercizi: 4.8.3, 4.8.4, 5.3.7, 5.4.5, 5.4.6
18/4: L'nsieme dei punti singolari di una varietà è chiuso. Parametri locali in punti nonsingolari. L'anello locale in un punto nonsingolare è un UFD (solo enunciato e applicazioni). Chiusi localmente principali. I punti non singolari di chiusi principali sono nonsingolari.
20/4: Varietà localmente fattoriali. I chiusi di codimensione uno in varietà localmente fattoriali sono localmente principali. Le applicazioni razionali di varietà localmente fattoriali in spazi proiettivi sono regolari in codimensione uno. Curve isomorfe e birazionali. Esempio di curva non singolare non razionale. Esercizi: 5.1.6, 5.4.8, 5.4.9, 5.7.6, 5.8.5
2/5: Varietà normali. Il luogo singolare di una varietà normale ha codimensione almeno due. Le applicazioni razionali di varietà normali in spazi proiettivi sono regolari in codimensione uno. Normalizzazione di variet'à affini: esistenza, proprietà universale e unicità .
4/5: Divisori di Weil. Divisori principali e gruppo delle classi di divisori di varietà normali. Esempi. Esercizi: 5.11.6, 6.1.8, 6.1.9, 6.1.10.
9/5: Il prodotto di varietà normali è normale. Classi di divisori di un prodotto di varietà normali. Gruppo delle classi del prodotto di una varietà per uno spazio affine.
11/5: Scoppiamento del piano proiettivo in un punto. Divisori su aperti di variettà successione esatta. Gruppo delle classi del prodotto di una varietà per uno spazio proiettivo. Esercizi: 6.2.4, 6.2.5, 6.2.6, 6.2.7.
16/5: Divisori di Cartier e relazione con i divisori di Weil. Gruppo di Picard. Esempi.
18/5: Pull-back di classi di divisori tramite applicazioni razionali. Sistemi lineari su varietà proiettive. Divisori su curve proiettive nonsingolari; grado. I divisori principali sulle curve hanno grado zero. Esercizi: 6.4.9, 6.4.10, 6.4.11, 6.4.12.
23/5: Caratterizzazione di curve razionali: una curva proiettiva nonsingolare è razionale se e solo se ammette due punti distinti linearmente equivalenti. Gruppo di Picard di una cubica piana nonsingolare. Teorema di Bezout per curve in spazi proiettivi.