Geometria Algebrica 1 - GE410

Testi consigliati: (1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. (2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. (3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Orario Lezioni e Esercitazioni: Martedi e venerdi 14-16 Aula 009 - Mercoledi 11-13 Aula 211. Prima lezione: 24 settembre

Diario giornaliero delle lezioni:

24/9 : Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert; cenni sul teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz). Introduzione alla topologia di Zariski.

27/9 :: Topologia di Zariski sulla retta affine. Quasicompattezza e altre proprietà generali della topologia di Zariski.

1/10 : Topologia di Zariski di chiusi affine. Ipersuperfici.

2/10 : Curve piane e risultante di due polinomi.

8/10 : Cenni sul teorema di Bézout per curve piane. Esempi di curve piane affini e della loro chiusura proiettiva. Coniche e cubiche.

9/10 : Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili. Dimostrazione della forma debole del teorema degli zeri di Hilbert.

15/10 : Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert. Algebre e algebre ridotte. Algebre associate a chiusi affini. Esempi espliciti.

16/10 : Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.

22/10 : Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali. Prodotti e proiezioni. Le proiezioni sono aperte.

23/10 : Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi. Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale come spazio degli iperpiani.

29/10 : Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali dalla retta proiettiva a spazi proiettivi. Esempi. Esercizi: Testo (3): 3.2.7, 3.3.2, 3.3.3, 3.6.8, 3.6.9.

5/11 : Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini. Campo delle funzioni razionali di una varietà quasiproiettiva irriducibile.

9/11 : Dimensione di varietà. Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione. Esempi di varietà birazionali ma non isomorfe. Esercizi: Testo (3): 3.7.6, 3.10.11. 3.10.12

12/11 : Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi. Curve razionali normali. Indipendenza lineare di insiemi di punti su curve razionali normali. Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese. Corrispondenza tra ipersuperfici e sezioni iperpiane di varietà di Veronese.

15/11 : Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi. Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Riduzione di proiezioni a proiezioni da punti. Esercizi: Testo (3): 4.2.4, 4.4.6, 4.4.7

20/11 Finitezza delle fibre di proiezioni. Invarianza della dimensione per morfismi a fibre finite. Intersezione di ipersuperfici con chiusi di spazi proiettivi.

22/11 Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva. La diagonale nel prodotto di spazi proiettivi. Cenni sui domini di fattorizzazione unica.

26/11 : Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto. Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali. Luogo di definizione di applicazioni razionali su spazi proiettivi Esercizi: Testo (3): 4.7.4, 4.7.6, 4.9.7

29/11 : Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.

3/12 : Relazione tra spazio tangente e spazio cotangente. Punti singolari e nonsingolari. I punti nonsingolari di una varietà irriducibile formano un aperto denso.

4/12 Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.

6/12 Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2. Esercizi

10/12 Parametri locali per varietà quasiproiettive. Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.

11/12 Scoppiamento dello spazio proiettivo in un punto. Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.

13/12 Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

7/1 Divisori di Weil per varietà non singolari. Divisori principali e gruppo delle classi. Gruppo delle classi di spazi affini e proiettivi.

8/1 Divisori di Cartier, gruppo di Picard di una varietà irriducibile. Confronto tra divisori di Weil e divisori di Cartier.

10/1 Pull-back di divisori e sue proprietà funtoriali. Spazio lineare completo e spazio delle sezioni globali associati a un divisore. Studio del caso di varietà proiettive e di spazi proiettivi.

16/1 Sistemi lineari e punti base per varietà proiettive nonsingolari. Corrispondenza tra sistemi lineari e applicazioni regolari in spazi proiettivi.

Esercitazioni:

25/10: Sottospazi lineari. Traslazioni di chiusi. Sottinsiemi finiti. Limitazione superiore della dimensione di chiusi.

6/11: Esempi di varietà quasi proiettive affini e non affini. Lo spazio di iperpiani per un punto come iperpiano nello spazio proiettivo duale. Spazi di curve piane di grado fissato passanti per un insieme di punti fissato.

4/12: Esercitazione sulla conservazione dell'irriducibilità tramite applicazioni regolari dominanti.

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