Topologia Algebrica 2

A.A. 2011-2012

Docente: LUCIA CAPORASO - Ricevimento: Martedi 13-14 - Giovedi 18-19 previo appuntamento

Ufficio: 108 - Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso--at--mat.uniroma3.it

Programma in breve:

  • CW complessi. Grafi, gruppi liberi e K(G,1) spazi.
  • Richiami di teoria dell'omologia singolare. Omologia relativa e teorema di escissione. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero.
  • Coomologia singolare. Teorema dei coefficienti universali. Anello di coomologia, formula di Künneth.
  • Orientabilità . Teoremi di dualità .
  • Elementi di algebra omologica.

    Testi consigliati:

  • A. Hatcher Algebraic topology Cambridge University press.
  • M.J. Greenberg-J. Harper Algebraic topology (A first course) Addison-Wesley publishing company (1981)

    Lezioni: Martedi 11-13 e Giovedi, 16-18. Aula 009. Prima lezione: Martedi 21 Febbraio 2012.

    Esami:

  • Venerdi 15 Giugno ore 11: Orale tesine
  • Venerdi 13 Luglio ore 11: Esame scritto

    Diario giornaliero delle lezioni:

  • (1,2) 21/2 : Richiami: omotopia tra mappe, equivalenza omotopica di spazi topologici, spazi contraibili, retratti di deformazione. CW complessi e loro proprietà topologiche. Grafi ed altri esempi di CW complessi; prodotti e quozienti. CW coppie. Gruppi Liberi come gruppi fondamentali di grafi.

  • (3,4) 23/2 : Proprietà di estensione dell'omotopia e retratti di deformazione. Invarianza del tipo di omotopia per quoziente modulo un sottospazio contraibile. Proprietà di estensione dell'omotopia per CW coppie. K(G,1) spazi: definizione ed esempi.

  • (5,6) 28/2 : Costruzione di un CW-complesso K(G,1) per un gruppo arbitrario G: spazio classificante BG e suo rivestimento universale. Esistenza di alberi massimali in grafi connessi arbitrari.

  • (7,8) 1/3 : Dimostrazione dell'unicità del tipo omotopico di un CW-complesso K(G,1). Richiami di omologia singolare: definizioni, proprietà funtoriali, invarianza per omotopia.

  • (9,10) 6/3 : Omologia ridotta. Lemma del cinque. Omologia relativa: definizione. Successione esatta lunga di omologia associata ad una successione esatta corta di complessi. Successione esatta di omologia relativa.

  • (11,12) 13/3 : Suddivisioni baricentriche e loro proprietà elementari. Operatore di cono e sue proprietà omotopiche.

  • (13,14) 15/3 : Operatori di suddivisioni baricentriche e loro tipo d'omotopia per spazi convessi e spazi topologici arbitrari. Numero di Lebesgue di ricoprimenti aperti di spazi metrici compatti.

  • (15,16) 20/3 : Omologia calcolata rispetto a ricoprimenti attraverso gli operatori di suddivisioni baricentriche. Teorema di escissione.

  • (17,18) 22/3 : Varianti del teorema di escissione. Calcolo dell'omologia delle sfere.

  • (19,20) 27/3 : Successione esatta per una terna di spazi; successione esatta per spazi quozienti con proprietà speciali. Esempi. Grado di un'applicazione continua della sfera in se stessa e proprietà elementari.

  • (21,22) 29/3 : Endomorfismi della sfera: mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Campi vettoriali sulla sfera. Azione libera di un gruppo sulla sfera. Grado locale e grado globale per endomorfismi di sfere.

  • (23,24) 12/4 :Prodotti wedge di coppie e loro omologia. Omologia cellulare. Esempi: omologia per lo spazio proiettivo complesso e le superfici compatte orientabili.

  • (25,26) 17/4 : Formula per il calcolo del bordo cellulare. Omologia con coefficienti un gruppo abeliano. Omologia per lo spazio proiettivo reale sugli interi e con gruppo dei coefficienti un gruppo abeliano. Caratteristica topologica di un CW- complesso e sua espressione omologica.

  • (27,28) 19/4 : Successioni esatte spezzate. Successioni duali di successioni esatte. Coomologia di complessi in gruppi abeliani liberi a coefficienti arbitrari.

  • (29,30) 24/4 : Risoluzioni libere e coomologia per gruppi abeliani. Teorema dei coefficienti universali per la coomologia.

  • (31,32) 26/4 : Gruppi Ext e loro proprietà semplici. Teorema dei coefficienti universali per la coomologia di spazi topologici: omologia e coomologia a coefficienti in un campo. Proprietà generali dei gruppi di coomologia: coomologia relativa, proprietà funtoriali, successione di Mayer-Vietoris.

  • (33,34) 2/5 : Coomologia di grafi. Prodotto cup e anello di coomologia a coefficienti in un anello. Calcolo esplicito per la superfice compatta connessa orientabile di genere 2.

  • (35,36) 8/5 : Esempi di anelli coomologia. Prodotto tensoriale di gruppi abeliani e di moduli. Prodotto di spazi topologici, prodotto "cross" per la coomologia e enunciato della formula di Künneth. Definizione di categoria, funtore covariante e funtore contravariante; funtori di omologia e coomologia.

  • (37) 13/5 : Definizione assiomatica dell'omologia: teorie omologiche ridotte e non ridotte dalla categoria delle CW-coppie alla categora dei gruppi abeliani; esempi.

  • (38,39) 15/5 : Definizione assiomatica della coomologia: teorie coomologiche non ridotte dalla categoria delle CW-coppie alla categora dei gruppi abeliani. Caratterizzazione di una teoria coomologica a meno di trasformazioni naturali. Dimostrazione della formula di Künneth per CW-complessi.

  • (40,41) 22/5 : Varietà topologiche. Orientazioni locali e globali: definizione tramite l'omologia singolare. Lemma di continuazione per le orientazioni locali.

  • (42,43) 24/5 : Caratterizzazioni dell'orientabilità tramite rivestimenti a due fogli. Orientazioni su anelli arbitrari. Caratterizzazioni dell'orientabilità su anelli arbitrari tramite l'omologia singolare.

  • (44,45) 29/5 : Omologia e orientabilità esempi. Definizione di prodotto cap. Dualità di Poincare' per varietà compatte. Caratteristica di Eulero di varietà compatte orientabili.

  • (46) 29/5 : Limiti diretti di gruppi abeliani. Dualità di Poincare' per varietà qualsiasi.

  • (47,48) 31/5 : Dimostrazione della dualità di Poincare' in casi particolari: superfici compatte, spazio reale di dimensione qualsiasi. Caratteristica di Eulero di varietà (anche non orientabili) di dimensione dispari.