Geometria Algebrica 2

A.A. 2012-2013

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Docente: LUCIA CAPORASO - Ufficio: 108

Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Prerequisiti del corso: Teoria classica delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi. Varietà nonsingolari, normali e localmente fattoriali. (Per esempio, il corso Geometria Algebrica 1 oppure il capitolo 1 del testo Algebraic geometry di R. Hartshorne.)

Programma in breve:

  • Divisori di Weil e di Cartier, sistemi lineari e applicazioni in spazi proiettivi. Elementi di teoria delle curve piane. Forme differenziali e classe canonica.
  • Schemi algebrici.

    Testi consigliati:

  • I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • Qing Liu Algebraic Geometry and Arithmetic Curves Oxford Graduate Texts in Math. No. 6. Oxford University Press

  • Orario: Lunedi 12-14 e Giovedi 11-13 aula 211 Lezione introduttiva: Lunedi 18 Febbraio 2013

    Diario giornaliero delle lezioni

    18/2: Richiami di geometria algebrica classica.

    21/2: Divisori di Weil su varietà normali. Caso dell spazio affine e proiettivo: divisori principali per spazi affini e proiettivi.

    25/2: Gruppo delle classi dei divisori di Weil. Esempi. Successione esatta di restrizione ad aperti. Gruppo delle classi del prodotto di una varietà con uno spazio affine o proiettivo.

    28/2: Gruppo delle classi dello scoppiamento del piano affine o proiettivo in un punto. Divisori di Cartier per varietà qualsiasi. Confronto tra divisori di Weil e divisori di Cartier.

    4/3: Pull-back di divisori di Cartier. Sistema lineare completo di un divisore; spazio delle sezioni globali di un divisore. Studio del caso di varietà proiettive. Sistemi lineari e loro punti base.

    7/3: Corrispondenza tra sistemi lineari e morfismi in spazi proiettivi. Finitezza della dimensione dello spazio delle sezioni globali di un divisore su una curva proiettiva.

    11/3: Caratterizzazione di curve razionali. Molteplicità di intersezione in punti di curve con ipersuperfici. Teorema di Bezout. Esercizi. Capitolo 6: 2.10, 3.16, 3.17, 3.18, 4.9

    14/3: Molteplicità di intersezione di curve piane. Numero dei punti singolari di una curva piana. Studio di una cubica piana nonsingolare: Gruppo di Picard, legge di gruppo, morfismo di Abel Iacobi, sistemi lineari.

    18/3: Modulo dei differenziali regolari su varietà algebriche. Studi nel caso di spazi affini e proiettivi; struttura locale in punti nonsingolari. Differenziali razionali. Estensione di forme differenziali regolari in codimensione uno.

    21/3: Proprietà funtoriali dei differenziali; invarianza per equivalenza birazionale di varietà proiettive nonsingolari. Classe canonica per curve nonsingolari; calcolo esplicito per curve piane.

    25/3: Richiami di algebra multilineare: costruzione del p-esimo prodotto tensoriale e prodotto del p-esimo esterno di uno spazio vettoriale. Forme differenziali regolari e razionali di ordine qualsiasi. Definizione della classe canonica di una varietà nonsingolare. Esercizi: 6.7.6, 7.5.5, 7.5.6, 8.1.8, 8.1.9

    26/3: Proprietà funtoriali delle forme differenziali d'ordine superiore e della classe canonica. Calcolo della classe canonica per lo scoppiamento del piano affine in un punto, e per ipersuperfici proiettive.

    11/4: Spazio topologico Spec A. Campo residuo e funzioni regolari. Esempi.

    15/4: Gli aperti principali di Spec A. Ideali primi e ideali massimali attraverso omomorfismi di anelli e k-algebre finitamente generati. Fasci e prefasci in gruppi abeliani. B-fasci.

    18/4: Spec A è quasicompatto. Costruzione del fascio strutturale su Spec A partendo dagli aperti principali. Definizione di schemi affini. Particolari morfismi di schemi affini. Esempi.

    22/4: Schemi. Spighe di un fascio; anello locale di un punto di uno schema. Morfismi tra schemi.

    29/4: Esempio di schema non affine. Morfismi in spazi affini e omomorfismi di anelli. Schemi su un annello; k-schemi. Punti razionali di k-schemi affini.

    2/5: Esempi di insiemi di punti razionali per curve. Punti razionali di k-schemi arbitrari e loro interpretazione come morfismi da Spec K (sezioni del morfismi strutturale). Definizione di schemi Noetheriani e schemi ridotti; esempi di schemi non ridotti. Definizione di dimensione di schemi e caso speciale di k-schemi affini. Esempi.

    6/5: Spazio tangente di Zariski. Anello dei numeri duali e spazio tangente di Zariski. Prodotto di schemi. Fibra schematica di un morfismo di schemi. Esempi di fibre di famiglie di curve.

    9/5: Estensione di base. Deformazioni infinitesime di fibre in famiglie. Sottoschemi chiusi; immersioni chiuse. Schemi separati, esempio di schema non separato. Gli schemi affini sono separati.

    12/5: Fascio associato ad un prefascio; fascio immagine, nucleo e conucleo di un morfismo di fasci. Definizione dello schema Proj S per un anello graduato S.

    16/5: Schemi proiettivi e loro sottoschemi chiusi. Richiami sugli anelli di valutazione. Generalità sui criteri valutativi. Lo spazio proiettivo su Z è proprio.

    20/5: Relazione tra la categoria delle varietà quasiproiettive e la categoria degli schemi su un campo algebricamente chiuso fissato. Definizione di schema noetherianoe di morfismo di tipo finito. Criteri valutativi di separatezza e proprietà .

    23/5: Proprietà funtoriali dei morfismi propri e saparati. Morfismi proiettivi e quasiproiettivi. Relazione tra la categoria delle varietà quasiproiettive e proiettive su un campo agebricamente chiuso e la categoria degli schemi proiettivi e quasiproiettivi sullo stesso campo.