GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI (da risolvere entro Martedi 26 Febbraio)

1.

Dei tre assiomi che definiscono le varietà topologiche, dimostrare che

• 1) non implica 2) (ovvero, il fatto che ogni punto di uno spazio topologico X abbia un intorno aperto omeomorfo a ℝ^{n} non implica che X sia di Hausdorff)

e che

• 3) non segue da 1) e 2). (ovvero, il fatto che ogni punto di uno spazio topologico di Hausdorff X abbia un intorno aperto omeomorfo a ℝ^{n} non implica che X ammette una base numerabile)

2.

La definizione di somma connessa di due superfici non dipende (come sempre, a meno di omeomorfismi) dalle scelte dei dischi (in ciascuna superficie) e dell’omeomorfismo tra i bordi dei dischi.

3.

Sia D un poligono con un numero pari di lati. Sia fissata una identificazione qualsiasi tra coppie di lati. Si dimostri che il quoziente di D modulo tale identificazione è una superficie compatta (e quindi soddisfa i 3 assiomi che definiscono le varietà topologiche).

4.

Rappresentazione del toro come quoziente di un esagono (disegno fatto in classe) con coppie di lati opposti identificate in modo discorde. Mostrate che tale rappresentazione dà effettivamente un toro.

5.

Determinare una triangolazione del piano proiettivo