GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI 3. (da risolvere entro Martedi 26 Marzo)

1.

Sia Z un insieme e sia {U_{α}} con α ∈ A una collezione di sottoinsiemi di Z.

(a) Si dimostri che, se su ogni U_{α} è definita una topologia, allora si puo‘ definire una topologia su Z mediante la regola:

U ⊂ Z è aperto se e soltanto se U ∩ U_{α} è aperto per ogni α.

(b) Si supponga che ogni U_{α} sia connesso. Si formi un grafo Γ i cui vertici sono v_{α} con α ∈ A e i cui lati sono tutti e soli i segmenti che uniscono v_{α} e v_{β} per tutte le coppie α e β tali che U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅. Si dimostri che Z è conesso se e solo se il grafo γ è connesso.

2.

Utilizzare il fatto che χ(S^{2}) = 2 (la caratteristica topologica della sfera è 2) per dimostrare che esistono esattamente cinque solidi regolari (ovvero solidi con facce di n ≥ 3 lati ciascuna, e tali che in ogni vertice si intersecano p facce). Per ognuno dei cinque solidi, elencare il numero di vertici, spigoli e facce.

3.

A quali superfici corrispondono le due rappresentazioni seguenti, al variare di n?

a_{1}a_{2}....a_{n}a_{1}^{−1}a_{2}^{−1}....a_{n}^{−1}

a_{1}a_{2}....a_{n}a_{1}^{−1}a_{2}^{−1}....a_{n−1}^{−1}a_{n}

4.

Vero o falso? Una funzione olomorfa reale è costante. Analogamente: una funzione olomorfa immaginaria (ovvero, la cui parte reale è zero) è costante.

5.

Dimostare che le due seguenti strutture di varietà analitica complessa su ℝ^{2} non sono compatibili. La prima struttura è data da

\begin{aligned}ϕ : & ℝ^{2} & ⟶ & ℂ \\ & (x, y) & ↦ & x + iy \end{aligned}

La seconda struttura è data da

\begin{aligned}ψ : & ℝ^{2} & ⟶ & ℂ \\ & (x, y) & ↦ & \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + i\frac{y}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \end{aligned}

6.

Verificare che la sfera S^{2} è una varietà analitica complessa (completando la descrizione data in classe, se si vuole)