GE5 - Problema 2.2. Utilizzare il fatto che χ(S^{2}) = 2 (la caratteristica topologica della sfera è 2) per dimostrare che esistono esattamente cinque solidi regolari (ovvero solidi con facce di n lati ciascuna, e tali che in ogni vertice si intersecano p facce). Per ognuno dei cinque solidi, elencare il numero di vertici, spigoli e facce.

Soluzione Sia Σ un solido come nell’enunciato dell’esercizio. Σ ha: v vertici, l spigoli e f facce e ogni faccia ha n

lati e in ogni vertice si incontrano p facce (o anche p spigoli). Ci sono delle relazioni elementari tra questi 5 numeri (che sono, ovviamente, interi positivi):

nf = 2l (ogni faccia ha n lati e ogni lato è contenuto in 2 facce) 2l = pv (ogni lato ha 2 vertici e ogni vertice è contenuto in p facce)

Inoltre poiche‘ Σ è, omeomorfo all sfera S^{2}, la sua caratteristica topologica è uguale a 2:

2 = v − l + f

Quest’ultima uguaglianza si puo‘ tradurre, utilizzando le relazioni suddette (che permettono di esprimere v e l in funzione di f), e eliminando i denominatori, nella:

4p = f(2n − pn + 2p)  (∗)

Infine, sono verificate alcune diseguaglianze geometriche, tra le quali

p ≥ 3  (1)

ovvero in ogni vertice si incontrano almeno 3 facce. Questa diseguaglianza equivale al fatto che le facce siano piane. La si puo‘ anche ricavare dalla (∗), facciamolo. Se si pone p = 2 si ottiene f = 2. Dunque Σ è ottenuto da due poligoni con lo stesso numero di lati, incollandone i perimetri. Cosí facendo, ovviamente, si ottiene un solido le cui facce non possono essere piane.

Adesso, riscriviamo (∗) fattorizzando p. Otteniamo:

p(4 + fn − 2f) = 2nf

e si osservi che il coefficiente di p è sicuramente positivo, poiché si ha, ovviamente, n ≥ 2. Dunque, applicando la (1) otteniamo

3(4 + fn − 2f) ≤ 2nf, ovvero fn ≤ 6f − 12, dunque n ≤ 6 − \frac{12}{f} < 6. Poiche‘ n è intero, concludiamo che n ≤ 5. A questo punto, non resta che da fare una analisi caso per

caso, utilizzando la (∗) ogni volta:

• n ≤ 2 si esclude subito, perche‘ le facce sono poligonali (oppure si puo‘ escludere utilizzando la (∗)).

• Se n = 3 la (∗) diventa 4p = f(6 − p). Quindi, o p = 3, f = 4 e dunque si ottiene un Tetraedro, Oppure p = 4 e f = 8 e si ottiene un Ottaedro. Oppure p = 5 e f = 20 e si ottiene un Icosaedro.

• Se n = 4 la (∗) diventa 4p = f(8 − 2p). Dunque l’unica è p = 3 f = 6, un Cubo.

• Se n = 5 la (∗) diventa 4p = f(10 − 3p). L’unica è p = 3 f = 12, un Dodecaedro. Fine

Si osservi che non si è mai usato il fatto che i solidi sono “regolari” (ovvero, gli spigoli hanno tutti la stessa lunghezza, gli angoli tutti la stessa ampiezza).

Quanto enunciato nell’esercizio è un fatto puramente topologico: è sufficiente supporre che il solido sia omeomorfo alla sfera.