GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI 3. (da risolvere entro Martedi 26 Marzo)

1. Sia Z un insieme e sia {U_{α}} con α ∈ A una collezione di sottoinsiemi di Z tale che ∪_{α∈A}U_{α} = Z. (a) Si dimostri che, se su ogni U_{α} è definita una topologia, allora si può definire una topologia

su Z mediante la regola:

U ⊂ Z è aperto se e soltanto se U ∩ U_{α} è aperto per ogni α.

(b) Si supponga che ogni U_{α} sia connesso. Si formi un grafo Γ tale che

i vertici sono punti v_{α} con α ∈ A. I lati di Γ sono tutti i segmenti che uniscono v_{α} e v_{β} per tutte le coppie α e β in A tali che U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅.

Si dimostri che Z è conesso se e solo se il grafo Γ è connesso.

2. Su quali delle seguenti superfici topologiche è possibile definire una struttura analitica? (a) Un disco aperto in ℝ^{2}.

(b) La somma connessa di un toro con una sfera: T ♯S^{2}

(c) Il piano proiettivo reale P^{2}

(d) La bottiglia di Klein

(e) La somma connessa di un toro con un piano proiettivo reale: T ♯P^{2}

3. Vero o falso: Due superfici topologiche compatte con la stessa caratteristica topologica sono omeomorfe.

Vero o Falso: Due superfici analitiche compatte con la stessa caratteristica topologica sono omeomorfe.

(giustificare le risposte.)

4. Siano ω_{1} e ω_{2} due vettori in ℂ linearmente indipendenti su ℝ e sia

R = {n_{1}ω_{1} + n_{2}ω_{2}, n_{i} ∈ ℤ}

il reticolo da essi generato.

(a) Dimostrare che R è un sottogruppo discreto (senza punti di accumulazione) di ℂ.

(b) Dimostrare che il gruppo T = ℂ/R (che è un toro complesso) è un gruppo divisibile, ovvero vale la proprietà seguente:

Per ogni p ∈ T e per ogni intero n ≥ 1 esiste un punto q ∈ T tale che nq = p

(c) Fissati p e n come in (b), dimostare che il numero dei punti q come in (b) è uguale a n^{2}.

5. Sia P (z, w) un polinomio omogeneo di grado d nelle variabili z e w.

(a) Si mostri che P (z, w) non definisce un’applicazione f di ℙ^{1} tramite la legge, se q = [z_{0}, w_{0}] ∈ ℙ^{1} allora f(q) := P (z_{0}, w_{0}), a meno che ... .

(b) Si mostri invece che l’insieme dei punti di ℙ^{1} nei quali f si annulla è un ben definito sottoinsieme chiuso di ℙ^{1}.

(c) Si dimostri la formula di Eulero

P (z, w) = \frac{1}{d}(wP_{w} + zP_{z})

dove P_{w} (risp. P_{z}) denota la derivata rispetto a w (a z). La si generalizzi ( e dimostri) a polinomi omogenei di più varabili.