GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI 4. (da risolvere entro Martedi 30 Aprile)

1. • Sia ℙ^{1} dato con coordinate omogenee [z, w] e sia t = \frac{z}{w}. Si calcolino gli zeri e i poli con il loro ordine, delle funzioni meromorfe deteminate dalle funzioni razionali seguenti:

\frac{t + 1}{t^{2} − 1}  (a)

\frac{1}{t^{2} + 1}  (b)

(t − 1)(t − 2)(t − 3) · .... · (t − n)  (c)

• Si scrivano le funziono meroforme data in (a)-(c) come rapporti \frac{P (z,w)}{Q(z,w)} di polinomi omogenei dello stesso grado e si definisca l’applicazione

\begin{aligned}F : & ℙ^{1} & ⟶ & ℙ^{1} \\ & [z, w] & ↦ & [P (z, w), Q(z, w)] \end{aligned}

Si dimostri che F è un’applicazione analitica, se ne calcolino i punti di ramificazione e diramzione e si calcoli il grado di F, per ognuna delle funzioni razionali (a)-(c).

2. • Si considerino i seguenti polinomi P (x, y):

(a) x^{3} + y^{3} + 1

(b) x^{3} + y^{2} + 1

(c) x^{3} + x^{2} + y^{2}

(d) x^{2}y^{2} + x^{2} + y^{2}

(e) y^{2} − x^{6} + 1

(f) xy(x − 1)(y − 1) per ognuno di essi si determinino e punti singolari.

• Si consideri dunque la superficie di Riemann X piú grande possibile contenuta in Z(P) ⊂ 𝔸^{2} (per P da (a) a (f)).

Si consideri (per ognuno dei polinomi (a)-(f) e delle corrispondenti superfici di Riemann) l’applicazione analitica F : X ⟶ ℂ data dalla proiezione sull’asse x, ovvero F (x, y) = x. Si trovino tutti i punti di ramificazione e diramazione di π, e la loro molteplicità per F.