GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI 5. (da risolvere entro Martedi 14 Maggio)

1. Sia X una superficie di Riemann compatta e connessa. Si ricordi che una funzione meromorfa f su X determina un’applicazione analitica da X a ℙ^{1} (non costante se e solo se f è non costante).

(a) Se esiste su X una funzione meromorfa f avente un unico zero di ordine 1 e nessun altro zero, allora X ≅ ℙ^{1}.

(b) Analogamente, se esiste su X una funzione meromorfa f avente un unico polo semplice (ovvero, un punto di ordine −1) e nessun altro polo, allora X ≅ ℙ^{1}.

(c) Per ogni funzione meromorfa f su X si dimostri che

∑_{p∈X} ord_{p}(f) = 0

2. (a) Si dimostri che ℙ^{2} è uno spazio topologico compatto.

(b) Se P (x_{0}, x_{1}, x_{2}) è un polinomio omogeneo, si dimostri che la curva proiettiva X in ℙ^{2} definita da X := Z(P) è un sottoinsieme chiuso e compatto di ℙ^{2}.

(c) Sia L ⊂ ℙ^{2} una retta. Si definisca un omeomorfismo tra ℂ^{2} e ℙ^{2} \ L.

3. Sia F : X ⟶ Y un’applicazione analitica non costante tra superfici di Riemann compatte e connesse. Si dimostri che

g(X) ≥ g(Y)

Inoltre se g(X) = g(Y) allora ci sono solo due possibilità:

(a) F è un isomorfismo

(b) oppure ?

4. Siano F : X ⟶ Y e G : Y ⟶ Z due applicazioni analitiche non costanti tra superfici di Riemann compatte e connesse.

(a) Si esprima il grado dell’applicazione analitica G ∘ F : X ⟶ Z in termini dei gradi di F e di G. Ovvero, che formula lega tra loro i numeri:

deg F ∘ G, deg F, deg G?

(b) Sia p ∈ X un punto qualsiasi. Si esprima la molteplicità di G ∘ F in p in termini delle molteplicità di F in p e di G in F (p). Ovvero, che formula lega tra loro i numeri:

mult_{p}(F ∘ G), mult_{p}(F), mult_{F (p)}(G)?

Giustificare rigorosamente le risposte.