GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1

ESERCIZI 6. (da risolvere entro Giovedi 23 Maggio)

1. Siano date le due rette proiettive R e R′ di equazioni, rispettivamente: ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0 e a′x_{0} + b′x_{1} + c′x_{2} = 0. Dimostrare direttamente che R ∩ R′ è un unico punto se e solo se R ≠ R′.

2. Dimostrare che se X ⊂ ℙ^{2} è una conica liscia proiettiva e p un punto che non appartiene ad X, esistono esattamente 2 rette passanti per p e tangenti ad X. Fare l’esercizio con i conti, utilizzando il fatto che due coniche lisce proiettive sono proiettivamente equivalenti: scegliete (come volete) l’equazione della conica X e le coordinate del punto p, e calcolate esplicitamente le equazioni delle due tangenti per p, dimostrando anche che ne esistono esattamente due.

3. Dimostrare che una conica liscia proiettiva X ⊂ ℙ^{2} è isomorfa a ℙ^{1} “proiettandola” (come accennato in classe) da un punto q ∈ X su una retta R non contenente q. Come nell’esercizio precedente, scegliete a vostro piacere le equazioni di X, q e R e scrivete esplicitamente l’isomorfismo.

4. Rifare l’esercizio 2 in modo sintetico, utilizzando la formula di Riemann-Hurwitz e l’esercizio 3. Ovvero: costruire un’applicazione analitica F di grado 2 da una conica liscia X a ℙ^{1}, proiettando dal punto p, esterno alla conica. Usare il fatto che la conica ha genere 0, per calcolare il numero di tangenti ad essa per p.

5. Dimostrare che se X è una curva piana proiettiva non singolare e R una retta, allora R non è contenuta in X a meno che R sia uguale a X.