GE5: soluzione dell’ ESERCIZIO 6.3

3. Dimostrare che una conica liscia proiettiva X ⊂ ℙ^{2} è isomorfa a ℙ^{1} “proiettandola” (come accennato in classe) da un punto q ∈ X su una retta R non contenente q. Come nell’esercizio precedente, scegliete a vostro piacere le equazioni di X, q e R e scrivete esplicitamente l’isomorfismo.

Poiché le coniche non singolari (ovvero, lisce) in ℙ^{2} sono tutte isomorfe tra loro (anzi, sono proiettivamente equivalenti!), è sufficiente dimostrare che una di esse è isomorfa a ℙ^{1}. Scegliamo l’equazione di X come segue:

X = Z(P) dove P = P (x_{0}, x_{1}, x_{2}) è il polinomio

P (x_{0}, x_{1}, x_{2}) = x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}.

X è non singolare, poiché il sistema ottenuto uguagliando a zero le tre derivate parziali di P è:

x_{2} = 2x_{1} = x_{0} = 0

la cui unica soluzione è quella banale.

Scegliamo adesso il punto q centro della proiezione:

q = [0, 0, 1]

e la retta R immagine della proiezione:

R = Z(x_{2}).

Sia dunque

π : X ⟶ R ≅ ℙ^{1}

la proiezione da q. Le scelte fatte sono esattamente quelle fatte spesso a lezione! Dunque, la restrizione di π all’aperto affine U_{0} (dove x_{0} ≠ 0) è la cosiddetta “proiezione sull’asse x”.

Per dimostrare che π è un morfismo analitico, scriviamolo esplicitamente localmente in ogni punto di X.

Decomponiamo X nell’unione di due aperti

X = U ∪ V

dove U = X ∩ U_{0} ( e quindi U è la curva affine in U_{0} di equazione y^{2} = x) e V = X ∩ U_{2} (dove U_{2} è l’aperto affine dove x_{2} ≠ 0).

Diamo adesso l’espressione locale di π ristretto ad U e a V.

Sia p = [x_{0}, x_{1}, x_{2}]; se p ∈ U, allora definiamo

π(p) = [x_{0}, x_{1}] se p ∈ U

e

π(p) = [x_{1}, x_{2}] se p ∈ V

Poiché in U abbiamo x_{0} ≠ 0 e in V abbiamo x_{2} ≠ 0 la definizione di π(p) determina sempre un punto in R = ℙ^{1}.

Facciamo vedere che le due definizioni date coincidono su U ∩ V. L’equazione della curva ci dà:

\frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}}{x_{0}}

dunque, su U ∩ V

[x_{0}, x_{1}] = [1, \frac{x_{1}}{x_{0}} ] = [1, \frac{x_{2}}{x_{1}} ] = [x_{1}, x_{2}]

che è quello che volevamo dimostrare.

Questo dimostra che π è un morfismo analitico. Per far vedere che è un isomorfismo, basta scriverne l’inversa:

\begin{aligned}π^{−1} : & ℙ^{1} & ⟶ & X \\ & [z, w] & ↦ & [z, zw, w] \end{aligned}