GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1 Valutazione in Itinere n.1

4 Aprile 2002

COGNOME e NOME :

Problema 1. Per ciascuno dei quattro spazi topologici X seguenti (da 1.1 a 1.4) si dica se X:

(a) è connesso, (b) è compatto, (c) è una varietà topologica, (d) ammette una struttura di varietà analitica.

1.1 X è uguale a ℝ^{2} privato di un punto p, ovvero X = ℝ^{2} − {p}.

(a) è connesso?

(b) è compatto?

(c) è una varietà topologica?

(d) ammette una struttura di varietà analitica?

1.2 X è uguale a ℝ^{2} privato della retta r = {(x, y) : x = 0}, ovvero X = ℝ^{2} − {r}.

(a) è connesso?

(b) è compatto?

(c) è una varietà topologica?

(d) ammette una struttura di varietà analitica?

1.3 X è uguale ad un toro T privato di un punto p, ovvero X = T − {p}.

(a) è connesso?

(b) è compatto?

(c) è una varietà topologica?

(d) ammette una struttura di varietà analitica?

1.4 X = T ♯P^{2} è uguale alla somma connessa di un toro T con un piano proiettivo reale P^{2}.

(a) è connesso?

(b) è compatto?

(c) è una varietà topologica?

(d) ammette una struttura di varietà analitica?

Problema 2. (a) Si enunci il Teorema di Classificazione delle Superfici Topologiche Compatte.

(b) A quale superficie corrisponde la superficie scritta in forma standard come segue: abcb^{−1}c^{−1}a

Qual è la sua caratteristica topologica?

Problema 3. Sulla retta proiettiva complessa ℙ^{1}, con coordinate omogenee [z, w], si considerino i punti p_{1} = [1, 1], p_{2} = [2, 1] e q = [1, 0]. Si descriva esplicitamente l’insieme delle funzioni meromorfe su ℙ^{1} i cui zeri e poli sono descritti come segue.

• Zeri : uno zero d’ordine 1 in p_{1}, uno zero d’ordine 1 in p_{2}, e nessun altro zero, e

• P oli : un polo in q (d’ordine 2), e nessun altro polo. Perché, secondo voi, “d’ordine 2” è tra parentesi?

Problema 4. Siano ω_{1} e ω_{2} due vettori in ℂ linearmente indipendenti su ℝ e sia

R = {n_{1}ω_{1} + n_{2}ω_{2}, n_{i} ∈ ℤ}

il reticolo da essi generato. Considerate il gruppo T = ℂ/R, che sappiamo essere una varietà analitica: un cosiddetto “toro complesso”. Si consideri l’applicazione

\begin{aligned}ι : & T & ⟶ & T \\ & x & ↦ & −x \end{aligned}

(a) Si dimostri che ι è un automorfismo di gruppi (ovvero, che ι è biunivoca e che è un morfismo di gruppi).

(b) Si dimostri che ι è un automorfismo analitico (ovvero che ι e ι^{−1} sono applicazioni olomorfe)

(c) Si dia un esempio di un automorfismo analitico di T che non è un automorfismo di gruppo. (Si giustifichi la risposta)