GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1 Valutazione in Itinere n.2

4 Giugno 2002

COGNOME e NOME :

Problema 1.

1.a Sia X una superficie di Riemann compatta e conessa e sia F : X ⟶ ℙ^{1} un’applicazione analitica non costante. Si dimostri che F ammette qualche punto di ramificazione, a meno che deg F = .... ?

1.b Si dia un esempio esplicito di funzione meromorfa f su ℙ^{1} che induce un morfismo F : ℙ^{1} ⟶ ℙ^{1} di grado d, avente due punti di ramificazione di molteplicità d.

2.a Sia F : X ⟶ Y un’applicazione analitica non costante, di grado almeno 2 e non ramificata tra superfici di Riemann compatte e conesse. Si dimostri che le tre affermazioni seguenti sono equivalenti:

(I) X ha genere uguale a 1. (II) Y ha genere uguale a 1. (III) X e Y hanno lo stesso genere.

2.b Si dia un esempio di applicazione analitica F : X ⟶ X (X una superficie di Riemann compatta e connessa), tale che il grado di F sia almeno 2 e F non abbia punti di ramificazione.

Problema 3. Sia X una curva proiettiva, X = Z(P) ⊂ ℙ^{2}, dove P è un polinomio omogeneo di grado almeno 1.

VERO o FALSO? (giustificare brevemente le risposte, eventualmente citando risultati dimostrati durante il corso)

(a) Se X è nonsingolare, allora P è irriducibile.

(b) Se P è irriducibile, allora X è nonsingolare.

(c) Se X è nonsingolare e isomorfa a ℙ^{1}, allora deg P = 1.

(d) Sia X nonsingolare con degX ≥ 3 e sia X′ un’altra curva proiettiva. Se X e X′ sono isomorfe, allora deg X = deg X′.

4.a Sia X la superficie di Riemann (compatta) associata ad una curva proiettiva non singolare di grado 3. Per ogni punto p ∈ X, si costruisca un morfismo F : X ⟶ ℙ^{1} di grado 3 per il quale p è un punto di ramificazione.

4.b Dimostrate o confutate la seguente generalizzazione di 4.a. Sia X la superficie di Riemann associata ad una curva proiettiva nonsingolare di grado d ≥ 3. Si dimostri che, per ogni punto p ∈ X esiste un’applicazione analitica F : X ⟶ ℙ^{1} di grado d per la quale p è un punto di ramificazione.